Una pregunta sobre anillos de polinomios

Question

Esto puede ser una cuestión trivial. Decimos un ideal $I$ en un anillo $R$ $k$-iff generados $I$ es generada por a más elementos de la $k$ $R$. Que $F$ ser un campo. Es cierto que cada ideal en $F[x_1,x_2,....,x_n]$ $n-$ generado. (Esto es cierto cuando $n=1$, porque $F[x_1]$ es un PID)

Segunda pregunta: ¿es cierto que cada ideal en $F[x_1,x_2,x_3,...]$ es generada por un sistema contable de los elementos de $F[x_1,x_2,x_3,...]$?

Gracias

Answer 1

La respuesta a la primera pregunta es no. Por ejemplo, se puede generar el ideal $(x^2, xy, y^2)$ $F[x, y]$ $2$ elementos. Para ver esto, nota que cualquier conjunto de generadores linealmente debe abarcar el subespacio de homogéneos polinomios cuadráticos, que tiene dimensión $3$.

Answer 2

Desde Qiaochu ha respondido a la primera pregunta, voy a responder a la segunda: sí, de todos los ideales $I\subset F[x_1,x_2,x_3,...]$ es generado por una contables conjunto de elementos de $F[x_1,x_2,x_3,...]$.

De hecho, vamos a $G_n\subset I_n$ ser finito conjunto de generadores del ideal $I_n=I\cap F[x_1,x_2,x_3,...,x_n]$ de la noetherian anillo de $F[x_1,x_2,x_3,...,x_n]$.
La unión de $G=\bigcup_n G_n$ es la requerida conjunto numerable de generar el ideal $I$.
La razón es simplemente que cada polinomio $P\in I$ realidad implica sólo un número finito de variables$x_1,...,x_r$, de modo que $P\in F[x_1,x_2,x_3,...,x_r]$ algunos $r$ y por lo tanto, desde el $P\in I_r$, uno puede escribir $P=\sum g_i\cdot f_i$ algunos $g_i\in G_r\subset G$$f_i\in F[x_1,x_2,x_3,...,x_r]$.
Esto demuestra que $G$ genera $I$.

Answer 3

Un ideal es finitamente generado si finito se genera como $R$-modulo. Así que su primera declaración es incorrecto porque hay por lo menos el anillo de base. Para su segunda nota de la pregunta que el teorema de la base de Hilbert dice que si $R$ también es un anillo noetheriano $R[x]$ es un anillo de notherian. Pero sabes notherian anillos son finitamente generados como $R$-moduli.