Depende de en qué áreas de la filosofía de las matemáticas que se quiera estudiar. Nos puede ser útil dividir el campo en (A) muy general Big Picture preguntas acerca de cómo la matemática se ajusta a nuestras opiniones generales sobre el mundo y nuestro conocimiento de ella; y luego están (B) preguntas más específicas que surgen de la reflexión sobre algunos de los detalles de la práctica de matemáticas. Usted no necesita una gran cantidad de conocimientos matemáticos para afrontar el primer tipo de pregunta (a pesar de que hay un montón de otros conocimiento filosófico); se necesita más, tal vez mucho más, el conocimiento matemático (pero menos general de la filosofía) para abordar el segundo tipo de pregunta.
Permítanme explicarlo un poco (con la observación preliminar que yo no quiero decir que hay una fuerte división aquí: aún así, me sugieren que es muy útil para una primera aproximación a pensar en términos de la existencia de dos diferentes tipos de pregunta aquí.)
(A) Hay una hermosa cita del gran filósofo Wilfrid Sellars que muchos filósofos modernos en la tradición Anglo-Americana [disculpas a aquellos Bajo y en Escandinavia ...] también tomar como lema:
El objetivo de la filosofía, de manera abstracta formulada, es entender cómo
las cosas en el sentido más amplio posible del término que estar juntos en el
sentido más amplio posible del término.
Sobre las matemáticas, entonces, podríamos preguntarnos: ¿cómo las entidades abstractas que las matemáticas parecen hablar de encajar en nuestra predominantemente naturalista visión del mundo (en el que la ciencia empírica, en la final, se pone a llamar a los tiros acerca de lo que es real y lo que no lo es)? ¿Cómo podemos llegar a conocer acerca de estas supuestas entidades abstractas (recopilación de conocimiento parece normalmente implica una cierta clase de interacciones causales con las cosas que estamos tratando de averiguar, pero no podemos obtener una causal de agarre en las entidades abstractas de las matemáticas)? Hmmmm: ¿las matemáticas son y cómo llegamos a saber sobre él - o si usted prefiere que en el griego, la ontología y la epistemología de las matemáticas - parece muy puzzlingly desconectado del mundo y de nuestras capacidades cognoscitivas en conseguir un apretón en el mundo, según lo revelado por nuestro mejor va la ciencia. Y, sin embargo, ... Y, sin embargo, las matemáticas son intrínsecamente vinculado con, parece ser positivamente indispensable, nuestra mejor va la ciencia. Que curioso! ¿Cómo es que la investigación en el resumen de los reinos de las matemáticas llega a ser empíricamente tan condenadamente útil? Un rompecabezas que le pida el físico Eugene Wigner para escribir un ensayo famoso llamado "La Irrazonable Efectividad de las Matemáticas en las Ciencias Naturales".
Bueno, tal vez es la idea misma de la matemática que describe un reino abstracto fuertemente marcada del resto del universo - más o menos, el Platonismo (para un corto de la mano de la etiqueta) - que nos mete en problemas. Pero en ese caso, ¿qué otra cosa es la matemática? Estructuras en algún sentido (donde las estructuras puede ser ejemplificado en el no-mundo matemático, que es cómo las matemáticas se aplica)? - así que, ahah!, tal vez deberíamos ir a por algún tipo de Estructuralismo acerca de las matemáticas? Pero luego, pensándolo bien, ¿cuáles son las estructuras si no es muy entidades abstractas, después de todo? Hmmmm. Tal vez las matemáticas es realmente la mejor manera de pensamiento de como no ser sobre algo "ahí fuera" a todos, y debemos ir en busca de algún tipo de versión sofisticada de Formalismo-tal vez es solo símbolo de revolver, que no tiene que conectar a algunos abstractos Platónica de la realidad).
Y así llegamos arrastrados hacia esotéricas, filosóficas peleas, como los grandes Ismos slug it out. Bueno, yo caricatura de curso! -- pero el punto clave es que usted no necesita saber mucho de matemáticas avanzada para seguir estas peleas, que surgen desde muy elementales reflexiones sobre la escuela de la habitación inicios de las matemáticas y en las aplicaciones de la matemática elemental. Pero para llegar a cualquier lugar, usted necesita para ser capaz de seguir los argumentos, en general, la metafísica y la epistemología, es decir, seguir los argumentos acerca de lo que hay y sobre cómo podemos saber acerca de ella.
(B) sin Embargo, los filósofos de la matemática hablar mucho más de esta Gran Imagen de las cosas. Para estar seguro, el comienzo plan de estudios de pregrado en la filosofía de la matemática tiende a concentrarse en la región: por ejemplo, para un excelente libro de texto ver Stewart Shapiro muy legible a Pensar acerca de las Matemáticas (OUP, 2000). Pero los filósofos también preocuparse de las cuestiones más concretas como esta: tenemos ninguna razón para suponer que la Hipótesis continua tiene un determinado valor de verdad? ¿Cómo podemos decidir sobre los nuevos axiomas para la teoría de conjuntos como nos la carne hasta ZFC tratando de decidir la talla de la Hipótesis continua? De todos modos, ¿qué hay de bueno acerca de ZFC como en contra de otras teorías (¿tiene un lugar privilegiado de la motivación)? En qué sentido, si hace cualquier teoría de servir de base para las matemáticas? ¿Hay algún sentido en el que el topos de la teoría, dicen, es un rival de la fundación? ¿Qué tipo de explicaciones e ideas muy abstractas teorías como categoría de la teoría nos da? Lo que hace que para una exposición de la prueba en matemáticas de todos modos? Es el fenómeno de la matemática profundidad justo en el ojo del espectador, o es que hay algo objetivo allí? ¿Qué vamos a hacer de la inversa proyecto de matemáticas (que muestra de que las matemáticas pueden ser fundada en un muy débil sistema de los llamados predicativo de segundo orden de la aritmética)? Todo genuino a prueba de ser formalisable, y si es así, con qué grado de lógica aparato? Hay irreducible esquemática de las pruebas? ...
Eso es sólo el comienzo de una lista que podría seguir. Y en. Pero el punto es que ya haya hecho. Estas preguntas, de pie-de nuevo-un-poco y reflexionar sobre nuestra práctica de matemáticas, todavía puede razonablemente suficiente ser llamados cuestiones filosóficas (incluso si éstos no se ajustan a Sellars del lema). Son más local que el Panorama de las preguntas que surgen de mirar por encima de nuestros hombros y la comparación de las matemáticas con algún otro tipo de investigación y se preguntaba cómo encajan entre sí. Estas son preguntas que son internos a la matemática de la empresa, discutido por matemáticamente informado de los filósofos, así como por la mentalidad filosófica matemáticos-y usted ¿ necesita diferentes cantidades de matemáticas serias para hacer frente a ellos. No puede, por un obvio ejemplo, discutir la fundamental importancia de la categoría teoría, si no en la categoría de teoría.
Así que, en resumen, usted no necesita una gran cantidad de matemáticas para seguir los debates sobre algunos central Big Picture cuestiones ontológicas y epistemológicas de la filosofía de la matemática. Pero otras áreas de la filosofía de las matemáticas se centran en áreas específicas de la práctica de matemáticas, y, a continuación, usted tiene que saber un poco de matemáticas para seguirlos.
