Transformada de Fourier de las funciones de Bessel

Question

Tengo curiosidad por saber cómo se calcula la transformada de Fourier de los distintos tipos de funciones de Bessel. La página de Wikipedia sobre la transformada de Fourier da la transformada de $J_o(x)$ como ser $\frac{2rect(\pi\zeta)}{\sqrt{1-4\pi^2\zeta^2}}$ . He buscado un poco en la web pero parece que no encuentro una derivación para ese valor. Desde $J_o$ sólo se "amortigua" a cero en el infinito Supongo que la transformada debe calcularse utilizando algún tipo de representación de la función generalizada de la función de Bessel. Cualquier referencia sería muy apreciada.

Answer 1

Aunque esta pregunta fue formulada y respondida hace bastante tiempo, he pensado que podría ser útil ver un desarrollo alternativo, uno que utilice únicamente el análisis clásico y renuncie al uso de Funciones generalizadas .

Aquí encontraremos la transformada de Fourier de $J_0(x)$ encontrando primero la representación de la Transformada de Fourier de $J_0(x)$ y posteriormente invocar el Teorema de la inversión de Fourier .

Comenzamos, como empezó @Sasha, con la representación integral

$$\begin{align} J_0(x)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{ix\sin \phi}\,d\phi\\\\ &=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos (x\sin \phi)\,d\phi \tag 1 \end{align}$$

donde explotamos el hecho de que la parte real del integrando es una función par de $k$ mientras que la parte imaginaria es impar. Haciendo las sustituciones

$$\phi= \begin{cases} \arcsin (k),&\text{for}\,\,0\le\phi\le\pi/2\\\\ \pi-\arcsin (k),&\text{for}\,\,\pi/2\le\phi\le\pi \end{cases}$$

en $(1)$ produce

$$\begin{align} J_0(x)&=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}\cos (kx)\,dk \tag 2\\\\ &=\frac{1}{\pi}\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}\cos (kx)\,dk \tag 3\\\\ &=\frac{1}{\pi}\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}e^{ikx}\,dk \tag 4\\\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-1}^{1}\frac{2}{\sqrt{1-k^2}}e^{ikx}\,dk \tag 5\\\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\text{rect}\left(\frac{k}{2}\right)\frac{2}{\sqrt{1-k^2}}\right)e^{ikx}\,dk \tag 6\\\\ \end{align}$$

donde $\text{rect}$ es el Función rectangular . Finalmente, utilizando el Teorema de la Inversión de Fourier, tenemos

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\mathscr{F}\left(J_0(x)\right)(k)=\text{rect}\left(\frac{k}{2}\right)\frac{2}{\sqrt{1-k^2}}}$$

recuperando el conocido resultado.

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NOTAS:

Al llegar a $(2)$ escribimos $\int_{0}^{\pi}\cos (x\sin(\phi))\,d\phi=\int_{0}^{\pi/2}\cos (x\sin(\phi))\,d\phi+\int_{\pi/2}^{\pi}\cos (x\sin(\phi))\,d\phi$ , aplicamos las sustituciones y combinamos las integrales resultantes.

Al pasar de $(2)$ a $(3)$ explotamos la propiedad par del coseno.

Al pasar de $(3)$ a $(4)$ explotamos la propiedad impar del seno.

Al pasar de $(4)$ a $(5)$ , colocamos un factor de $1/2$ fuera de la integral y un factor de $2$ en el integrando.

Al pasar de $(5)$ a $(6)$ multiplicamos el integrando por la función rectángulo y ampliamos los límites.

Answer 2

Utilizando la integral representación : $$ J_0(x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi \mathrm{e}^{i x \sin \tau} \mathrm{d} \tau $$ Así, la transformada de Fourier: $$ \begin{eqnarray} \mathcal{F}_x(J_0(x))(\omega) &=& \int_{-\infty}^\infty J_0(x) \mathrm{e}^{i \omega x} \mathrm{d} x \\ &=& \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi \mathrm{d} \tau \, \mathcal{F}_x(\mathrm{e}^{i x \sin \tau})(\omega) \\ &=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \mathrm{d} \tau \, \left( 2 \pi \right) \delta\left( \omega + \sin(\tau) \right) \\ &=& \int_{-\pi}^\pi \mathbf{1}_{-1 \le \omega \le 1} \delta\left( \omega + \sin(\tau) \right) \,\, \mathrm{d} \tau \\ &=& \int_{-\pi}^\pi \mathbf{1}_{-1 \le \omega \le 1} \frac{1}{\vert \cos(\tau) \vert} \left( \delta\left( \arcsin \omega + \tau \right) + \delta\left( \arcsin \omega - \operatorname{sign}(\omega) \pi + \tau \right) \right)\,\, \mathrm{d} \tau \\ &=& \mathbf{1}_{-1 \le \omega \le 1} \frac{2}{\sqrt{1-\omega^2}} \end{eqnarray} $$