Problema de álgebra lineal por una matriz simétrica

Question

Que $n$ ser un entero impar y $A$ una $n \times n$ simétrico matriz con entradas entero tal que todas las entradas de la diagonal son cero. Muestran que $detA$ incluso.

Mi intento de

Desde todas las entradas de $A$ son números enteros su % polinomio característico $p(x)\in Z[x]$con el término constante de $p(x)$ siendo el factor determinante de $A$. Si puedo demostrar que 2 es un valor propio de $A$ entonces hemos terminado. Pero yo no puedo exponer tal un vector propio.

Por favor ayuda.

Answer 1

Reducir la matriz $A$ mod 2. Entonces $A$ se convierte en una matriz simétrica con entradas en $\mathbb{F}_2$. Es suficiente para demostrar que los vectores fila son linealmente dependientes. Esto puede hacerse por diseñar un algoritmo para elegir algunos vectores fila que suma a 0.