Creo que uno de los conceptos más útiles sobre los anillos es algo que me gustaría llamar "cierres unitales". (Me niego a utilizar el término "rngs" y, en mi post, el término "anillos" incluye tanto los anillos unitales como los no unitales). Para cualquier anillo $R$ el "cierre unital" es el anillo $\hat{R}:=\mathbb{Z}\oplus R$ con la adición $(k,r)+(l,s):=(k+l,r+s)$ y la multiplicación $(k,r)\cdot(l,s):=(kl,ks+lr+rs)$ para $k,l\in\mathbb{Z}$ y $r,s\in R$ . Claramente, $\hat{R}$ es un anillo unital con la identidad multiplicativa $\left(1,0_R\right)$ .
Para los subconjuntos $A,B$ de $R$ , escriba $A\cdot B$ para el conjunto que contiene todas las sumas de la forma $\sum_{i=1}^n \,a_ib_i$ , donde $n\in\mathbb{N}$ , $a_i\in A$ y $b_i\in B$ para todos $i$ . Un ideal de izquierda de $R$ es entonces un subgrupo abeliano aditivo $L$ de $R$ tal que $R\cdot L\subseteq I$ . Si $L$ es generado por un subconjunto $X$ de $R$ entonces $L$ consiste en todos los elementos de la forma $\sum_{i=1}^p\,k_ix_i+\sum_{j=1}^q\,r_jy_j$ , donde $p,q\in\mathbb{N}$ , $k_i\in\mathbb{Z}$ , $r_j\in R$ y $x_i,y_j\in X$ por cada $i,j$ . Por lo tanto, a diferencia del caso de los anillos unitales, es posible que $L\neq R\cdot X$ . Un ideal de dos caras de $R$ es un ideal de izquierda $I$ de $R$ tal que $I\cdot R \subseteq I$ . Si $I$ es generado por un subconjunto $X$ de $R$ entonces $I$ consiste en todos los elementos de la forma $\sum_{i=1}^p\,k_ix_i+\sum_{j=1}^q\,r_jy_j+\sum_{k=1}^m\,z_ks_k+\sum_{l=1}^n\,t_lw_lu_l$ , donde $p,q,m,n\in\mathbb{N}$ , $k_i\in\mathbb{Z}$ , $r_j,s_k,t_l,u_l\in R$ y $x_i,y_j,z_k,w_l\in X$ por cada $i,j,k,l$ . De nuevo, es posible que $I\neq R\cdot X\cdot R$ , a menos que $R$ es unital.
Un homomorfismo de anillo $\phi:R\to S$ para anillos $R$ y $S$ se define para ser sólo aditivo y multiplicativo. Si $R$ y $S$ son unitales, entonces $\phi$ es "unitario" si $\phi\left(1_R\right)=1_S$ . Los teoremas de isomorfismo para homomorfismos de anillos unitarios se trasladan a los teoremas de isomorfismo de homomorfismos de anillos potencialmente no unitarios. Además, $R$ puede verse como un subring de $\hat{R}$ a través de la incrustación $r\mapsto (0,r)$ para todos $r\in R$ . De todos modos, cualquier homomorfismo de anillo $\phi:R\to S$ puede extenderse de forma única a un homomorfismo de anillo unitario $\hat{\phi}:\hat{R}\to\hat{S}$ a través de $\hat{\phi}\big((k,r)\big):=\big(k,\phi(r )\big)$ por cada $k\in\mathbb{Z}$ y $r\in R$ . Por lo tanto, en cierto sentido, $\mathrm{Hom}(R,S)=\mathrm{Hom}_{\text{unitary}}\left(\hat{R},\hat{S}\right)$ . Lo bueno de tener en cuenta los anillos no matrimoniales es que la categoría $\mathbf{Rings}$ de todos los anillos junto con los homomorfismos de anillos tiene un objeto cero (el anillo cero), pero la categoría $\mathbf{URings}$ de todos los anillos unitales junto con los homomorfismos de anillo unitarios no tiene objetos cero, sino un objeto inicial ( $\mathbb{Z}$ ) y un objeto terminal (de nuevo, el anillo cero).
A la izquierda $R$ -Módulo $M$ se define de la forma habitual, y si $R$ es unital, decimos que $M$ es "unitario" si $1_R\cdot m=m$ para todos $m\in M$ . Homomorfismos de izquierda $R$ -los módulos también son los habituales. Denotaré por $\mathbf{LMod}(R )$ la categoría de la izquierda $R$ -junto con homomorfismos de izquierda $R$ -y por $\mathbf{LUMod}(U )$ la categoría de la izquierda unitaria $U$ -junto con homomorfismos de izquierda $U$ -dado que $U$ es un anillo unital. Obviamente, $\mathbf{LUMod}(U )$ es una subcategoría completa de $\mathbf{LMod}(U)$ para cada anillo unital $U$ .
Otra cosa esencial sobre el cierre unital $\hat{R}$ de un anillo $R$ es que $\mathbf{LMod}(R )$ es idéntica a $\mathbf{LUMod}\left(\hat{R}\right)$ (ya que cada izquierda $R$ -Módulo $M$ es una izquierda $\hat{R}$ -módulo a través de $(k,r)\cdot m :=km+r\cdot m$ para $k\in\mathbb{Z}$ , $r\in R$ y $m\in M$ y cada izquierda $\hat{R}$ -Módulo $N$ es una izquierda $R$ -módulo a través de $r\cdot n:=(0,r)\cdot n$ para todos $r\in R$ y $n\in N$ ). Por lo tanto, muchas propiedades de los módulos unitarios sobre un anillo unital pueden generalizarse a los módulos sobre un anillo. Por ejemplo, se sabe que un módulo libre unitario sobre un anillo unitario $U$ es una suma directa de copias de $U$ . ¿Qué tal un módulo gratuito sobre $R$ ? Bueno, como $\hat{R}$ es unital, un módulo libre sobre $R$ entonces es un módulo libre unitario sobre $\hat{R}$ por lo que será una suma directa de copias de $\hat{R}=\mathbb{Z}\oplus R$ . Otro ejemplo es que $\mathbf{LMod}(R )$ tiene suficientes projetivos y suficientes injetivos, lo que se debe a que $\mathbf{LUMod}(U)$ tiene suficientes projetivos y suficientes injetivos.
Ahora, vuelvo de nuevo a la respuesta de Clément Guérin sobre los ideales de los anillos. Para un anillo $R$ un ideal de izquierda de $R$ es en realidad una izquierda $\hat{R}$ -submódulo de $R$ , donde $R$ se le da a la izquierda $\hat{R}$ -Estructura del módulo $(k,r)\cdot s:=ks+rs$ para $k\in\mathbb{Z}$ y $r,s\in R$ . Por lo tanto, el ideal de la izquierda $\langle a \rangle$ generado por $a\in R$ será $\left\{ka+ra\,|\,k\in\mathbb{Z}\text{ and }r\in R\right\}$ que es igual a $R\cdot a$ si $R$ es unital.
P.D.: He omitido la discusión sobre los ideales y los módulos correctos por una razón trivial.
Acabo de recordar un problema al que me enfrenté hace poco.
Dejemos que $R$ sea un anillo y $n\in\mathbb{N}$ . Cuáles son todos los ideales de la izquierda y los ideales de dos lados del anillo de matrices $S:=\mathrm{Mat}_{n\times n}(R)$ ?
Supongamos que $R$ es unital. Entonces, existe una correspondencia uno a uno entre el conjunto $\mathcal{L}\left(R^n\right)$ de toda la izquierda $R$ -submódulos del unitario $R$ -Módulo $R^n$ y el conjunto $\mathcal{L}(S)$ de todos los ideales de izquierda de $S$ que asocia cada $V\in\mathcal{L}\left(R^n\right)$ con el ideal izquierdo de $S$ que consiste en matrices $\left[v_{i,j}\right]_{i,j\in[n]}$ , donde $[n]:=\{1,2,\ldots,n\}$ y $\left(v_{i,1},v_{i,2},\ldots,v_{i,n}\right) \in V$ por cada $i\in[n]$ . También existe una correspondencia uno a uno entre el conjunto $\mathcal{T}(R)$ del ideal de dos caras de $R$ y el conjunto $\mathcal{T}(S)$ de ideales de dos caras de $S$ . Esta correspondencia asocia $I\in\mathcal{T}(R)$ con $\text{Mat}_{n\times n}(I)$ .
Ahora, ¿qué pasa si $R$ ¿es no matrimonial? No sé la respuesta, y sospecho que es una pregunta abierta. Ni siquiera sé la respuesta cuando $R$ es un anillo trivial (es decir, un grupo abeliano aditivo $R$ con la multiplicación trivial: $r\cdot s:=0_R$ para todos $r,s\in R$ ).
