Absolutez del $ \text{Con}(\mathsf{ZFC}) $ para los modelos transitivos de $ \mathsf{ZFC} $.

Question

Es $ \text{Con}(\mathsf{ZFC}) $ absoluta para modelos transitivos de $ \mathsf{ZFC} $? Parece que $ \text{Con}(\mathsf{ZFC}) $ es una declaración sólo acerca de la lógica de la sintaxis. De tomar cualquier $ \in $-sentencia de $ \varphi $, podemos escribir $ \text{Con}(\mathsf{ZFC}) $$ \mathsf{ZFC} \nvdash (\varphi \land \neg \varphi) $, lo que parece ser un aritmética $ \in $a la sentencia.

Si esto es cierto, entonces yo creo que se puede obtener una rápida prueba de $$ \mathsf{ZFC} + \text{Con}(\mathsf{ZFC}) \nvdash \langle \text{No existe un modelo transitivo de $ \mathsf{ZFC} $} \rangle, $$ suponiendo que $ \mathsf{ZFC} + \text{Con}(\mathsf{ZFC}) $ es consistente.

PruebaSi $$ \mathsf{ZFC} + \text{Con}(\mathsf{ZFC}) \vdash \langle \text{No existe un modelo transitivo de $ \mathsf{ZFC} $} \rangle, $$ a continuación, vamos a $ M $ ser un modelo transitivo. Por el carácter absoluto de $ \text{Con}(\mathsf{ZFC}) $, podemos ver que $ M \models \mathsf{ZFC} + \text{Con}(\mathsf{ZFC}) $. Por lo tanto, $ \mathsf{ZFC} + \text{Con}(\mathsf{ZFC}) $ demuestra la consistencia de $ \mathsf{ZFC} + \text{Con}(\mathsf{ZFC}) $. Por Gödel del Segundo Teorema de la Incompletitud, $ \mathsf{ZFC} + \text{Con}(\mathsf{ZFC}) $ es por tanto incoherente. Contradicción. $ \blacksquare $

Pregunta: Es $ \text{Con}(\mathsf{ZFC}) $ absoluta para modelos transitivos, y es la anterior prueba correcta?

Gracias por la aclaración.

Answer 1

Sí, $\text{Con}(\mathsf{ZFC})$ es una media aritmética de instrucción ( $\Pi^0_1$ , en particular, porque se dice que un programa de ordenador que busca una incoherencia nunca va a parar) por lo que es absoluto para modelos transitivos, y la prueba es correcta.

Por cierto, hay un par de maneras que usted puede fortalecerla. En primer lugar, la aritmética declaraciones son absolutos a $\omega$-modelos (modelos con el estándar de los números enteros, que pueden, no obstante, no estándar ordinales) lo $\text{Con}(\mathsf{ZFC})$ no demostrar la existencia de una $\omega$-modelo de $\mathsf{ZFC}$. Segundo, la existencia de una $\omega$-modelo de $\mathsf{ZFC}$ no prueban la existencia de un modelo transitivo de $\mathsf{ZFC}$, debido a la existencia de una $\omega$-modelo de $\mathsf{ZFC}$ $\Sigma^1_1$ declaración, y $\Sigma^1_1$ declaraciones son absolte para modelos transitivos.