$TT^*=T^2$, muestran que el $T$ es uno mismo-adjoint

Question

Sea un espacio de producto interno, finitamente generado sobre $V$, $\mathbb{C}$ que satisface $T\in \operatorname{End}(V)$ $TT^*=T^2$, que $T$ es uno mismo-adjoint.

Sé que $TT^*$ es positivo así que tiene raíz cuadrada positiva, así la raíz cuadrada es positiva definida. Pero no siento que esto es una prueba. ¿Nadie puede probarlo sin considerar la raíz cuadrada?

Answer 1

Si $Tx=0$, entonces el $T^*x=0$ porque $$ \ | T ^ * x\ | ^ 2 = (T ^ * x, T ^ * x) = (TT ^ * x, x) = (T ^ 2 x, x) = 0. $$ Le dan que $T(T^*-T)=0$, que luego obliga a $T^*(T^*-T)=0$ por el resultado anterior y, por tanto, también $(T-T^*)(T^*-T)=0$. Por lo tanto, para todos los $x$,\begin{align} \|(T^*-T)x\|^2&=((T^*-T)x,(T^*-T)x) \\ &=((T-T^*)(T^*-T)x,x) = 0. \end {alinee el} así, $\|(T^*-T)x\|=0$ % todos $x$. Así $T^*x=Tx$ % todo $x$y $T^*=T$.

Answer 2

Elegir una base ortonormales de $V$ tal que $T$ es superior triangular cuando se expresa como una matriz en base a esto (siempre podemos hacer que en un finito-dimensional interna compleja espacio del producto; por la descomposición de Schur).

Deje que nos indican los coeficientes de la matriz por $T_{ij}$. Tenemos que mostrar que $(T_{ij})_{ij}$ es una matriz diagonal.

Mira las entradas de la diagonal de a $TT^*$:

$$(TT^*)_{ii} = \sum_{j=1}^n T_{ij} \overline{T}_{ij} = \sum_{j=1}^n |T_{ij}|^2$$

y la diagonal entradas de $T^2$:

$$(T^2)_{ii} = \sum_{j=1}^n T_{ij} T_{ji} = T_{ii}^2$$

debido a $T$ es superior triangular. Desde $TT^*=T^2$, tenemos $$\sum_{j=1}^n |T_{ij}|^2 = T_{ii}^2$$

En particular, $T_{ii}^2$ es un número real positivo, por lo $T_{ii}$ es un número real. Por lo tanto,

$$\sum_{j=1,j\not=i}^n |T_{ij}|^2 = 0$$

Pero esto implica $T_{ij}=0$$j\not=i$, lo $T$ es auto-adjunto.