Conjunto de polinomios dividido por un factor lineal es linealmente independiente

Question

Que $f(t)$ sea un polinomio compuesto de factores lineares $(t-a_i)$ $i \in [n]$, es decir $f(t) = (t-a_1)\cdots (t-a_n) $. Que $g_k(t)$ dada por: % $ $$g_k(t) = \frac{f(t)}{(t-a_k)}$$k \in[n]$. Demostrar que el conjunto de polinomios $\{g_k(t) \mid 1 \leq k \leq n \}$ es linealmente independiente.

Olvide especificar, pero cada $a_i$ es distinta.

No estoy seguro de cómo proceder de aquí. Estaba pensando usar la inducción, pero no estoy totalmente seguro como trabajar en la hipótesis inductiva.

Answer 1

Supongamos que hay constantes $b_1,\ldots,b_n$, no todos cero, tales que $$b_1g_1(t)+\cdots+b_ng_n(t)=0$de % $ % todos $t$. Pero si $b_k\neq0$, y $$b_k\prod_{i\neq k}(a_k-a_i)=b_kg_k(a_k)=b_1g_1(a_k)+\cdots+b_ng_n(a_k)=0,$ $ y así $a_i=a_k$ $i\neq k$. Así, si todos los $a_i$ son distinto, entonces $g_1,\ldots,g_n$ son linealmente independientes.

Answer 2

Considerar el mapa linear de tu espacio de polinomios para $\Bbb R^n$, definido por el hecho de que componente el $i$ del resultado se da al evaluar el polinomio en $x=a_i$. Entonces la imagen de $g_j$ es un vector con exactamente una coordenada distinto de cero, que está en la posición $j$. Estas imágenes son entonces claramente linealmente independientes, lo que implica que el $g_j$ son tan así (puesto que mapas lineales preservar a las relaciones de dependencia linear).