$2^x+7^y=19^z$ no tiene solución en números enteros positivos $x$, $y$, $z$

Question

Cómo demuestro que el % de la ecuación de diophantine $2^x+7^y=19^z$no tiene solución en números enteros positivos $x$, $y$, $z$

Answer 1

Va modulo $6$, la ecuación da $$2^x+1\equiv 1 \pmod 6$$So, $$2^x\equiv 0 \pmod 6$$But no power of $2 $ is divisible by $6$.

Que demuestra que no hay soluciones existen. Por lo tanto demostrado.

Answer 2

Sugerencia: trate de encontrar soluciones modulo n para algún n.

Edit: Como señaló en los comentarios esto es lo más obvio, pero no estoy seguro si usted, el OP, es consciente de. Un pequeño valor de n es suficiente y así probar diferentes valores de n llegar algún lugar. Sin embargo si quieres ser inteligente se dará cuenta hay un valor de n $ 7^y \equiv 1 \mod{n}$ y $ 19^z \equiv 1 \mod{n}$.