El primer subgrupo $\wp(G)$ de un Grupo abeliano (quizá infinito) $G$ se define como $\wp(G)=\bigcap_{p \in \Pi}pG$ $\Pi$ Dónde está el conjunto de los números primos. Es verdad que el $\wp(G) = \Phi(G)$. ¿Donde $\Phi(G)$ es el subgrupo de Frattini de $G$?
Respuesta
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Deje $G$ ser un grupo abelian. Podemos asumir nada acerca de la cardinalidad, rango de torsión, etc.
Lema: Para cualquier prime $p$, el cociente $G/pG$ es elemental abelian.
Prueba. Supongamos $x+pG\in G/pG$. A continuación, $px\in pG$ $p(x+pG)=pG$ por lo tanto $G/pG$ ha exponente $p$; es una suma directa de grupos cíclicos $Z_p$ (por Prüfer, Baer IIRC).
Lema. Una suma directa de $\bigoplus\limits_{i\in I}C_i$ de primer orden cíclico de los grupos ha trivial Frattini subgrupo.
Prueba. Para cada coordenada $i$, vamos a $D_i$ ser el subgrupo de todos los elementos con $0$ $i$th de coordenadas; este subgrupo tiene el primer índice y así es máxima; la intersección de todos estos máxima subgrupos habrían $0$ en cada coordinar a continuación, en cuyo caso es el subgrupo trivial.
Corolario. $\Phi(G)\le \wp(G)$.
Prueba. Por las anteriores dos lemas, sabemos que por cada primer $p$, $\Phi(G/pG)=0$, por lo tanto, por el teorema de celosía podemos levantar el máximo subgrupos de $G/pG$ hasta máximo subgrupos $M$ $G$ tal que $\bigcap M=pG$. Desde la intersección de la máxima subgrupos está contenida en $pG$ por cada $p$, el corolario de la siguiente manera por la intersección de estos elementos de contención.
Lema. $\wp(G)\le \Phi(G)$.
Prueba. Supongamos por el contrario, $g\in\bigcap_ppG$ pero $g\not\in M$ para un subgrupo maximal $M<G$. Ahora, si el cociente $G/M$ no han de primer orden, entonces se tendría un trivial adecuada subgrupo que pudiera levantar (por celosía teorema de isomorfismo), para un adecuado subgrupo de $G$ estrictamente contengan $M$, una imposibilidad, por lo $G/M\cong Z_q$ es cíclico para algunos prime $q$, e $qg\in M$. Además, $\langle M,g\rangle=G$.
Desde $g\in\bigcap_ppG$, hay un $h\in G$ tal que $g=qh$. Desde $\langle M,g\rangle=G$, $h=m+kg$ algunos $m\in M$$0<k<q$. Pero, a continuación, $g=qh=q(m+kg)=qm+k(qg)\in M$ desde $qg\in M$, una contradicción. Por lo tanto, cada elemento de la intersección está en cada subgrupo maximal.
Teorema. $\Phi(G)=\wp(G)$.
Prueba. Combinar las dos proposiciones anteriores.
Observación. Este argumento es una adaptación de La Frattini subgrupo de abelian grupos.
