¿Por qué el ideal $(a+bi)$ tener índice $a^2+b^2$ en $\mathbb{Z}[i]$ ?

Question

En los comentarios de la pregunta ¿Por qué esta estructura de módulo tiene $352512$ ¿elementos? se menciona que el índice del ideal generado por $a+bi$ en $\mathbb{Z}[i]$ tiene orden $a^2+b^2$ .

¿Existe una buena explicación rigurosa de por qué esto es así?

Answer 1

En Anillo de cocientes de enteros gaussianos se demostró que para $a,b$ coprima el cociente es realmente isomorfo a $\mathbb Z / (a^2+b^2)$ pero, en general, sigue siendo cierto que tienen el mismo tamaño.

Si miras la foto

extraído de la respuesta Anillo de cocientes de enteros gaussianos por quanta en el hilo mencionado anteriormente, se ve que queremos contar los puntos de la red en el cuadrado abarcado por $a+bi$ y $-b+ai$ .

Como los puntos del borde tienen que estar parcialmente identificados, resulta que queremos contar los puntos interiores más la mitad de los puntos del borde -1. (Como los lados opuestos del cuadrado están identificados, queremos contar sólo la mitad de los puntos del borde, pero queremos contar sólo 1 de las 4 esquinas, así que tenemos que restar uno).

Esto da exactamente el área $\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^2=a^2+b^2$ del cuadrado por Teorema de Pick.

Answer 2

Uno tiene $(a+ib)\mathbb Z[i]= (a+ib)\mathbb Z \oplus (-b+ia)\mathbb Z$ , por lo que lo ideal es $(a+ib)$ es el libre $\mathbb Z$ -submódulo de $\mathbb Z[i] =\mathbb Z \oplus i\mathbb Z$ generado por $a+ib$ y $-b+ia$ . Algo de teoría básica del álgebra nos dice que el índice de este submódulo es $\det \begin{pmatrix} a&-b\\b&a \end{pmatrix} = a^2+b^2$ .

Editar : Ver aquí la prueba : ¿Por qué el determinante es igual al índice?

Answer 3

Si sabes un poco de teoría, hay una cadena de igualdades:

• El índice del es igual al número de elementos del anillo cociente
• El número de elementos del anillo cociente es igual a la norma (sobre $\mathbb{Q})$ del ideal
• La norma de un ideal es igual a la (ideal generada por la) norma de un generador
• La norma sobre $\mathbb{Q}(i)$ en $\mathbb{Q}$ viene dada por $\mathcal{N}(x + \mathbb{i} y) = x^2 + y^2$ .

Answer 4

$x+iy$ forma parte del ideal generado por a+ib si se puede escribir como $(ac-bd)+i(cb+ad) = (a+ib)(c+id)$ .

Así que $\begin{align} x&= ac-bd\\ y&= bc+ad \end{align}$

Resolver para $c$ y $d$ encontramos

$\begin{align} c&= (x+bd)/a\\ d&=(ay-bx)/(a^2 + b^2) \end{align}$

Desde $d$ tiene que ser un número entero tenemos que

$a^2 + b^2 | ay-bx$

Por la identidad de Bézout sabemos que $ay-bx$ puede ser cualquier número entero si $a$ y $b$ son coprimas, por lo que tenemos $a^2 + b^2$ clases de equivalencia.

Si $a$ y $b$ no son coprimas (sea $d$ sea el GCD) sólo tenemos $(a^2 + b^2)/d$ clases de equivalencia.

Nunca he utilizado un editor de texto matemático, así que lo siento por la notación. Me siento raro por no usar el hecho de que $a|(x+bd)$ pero el resto debería estar bien. Me gustaría que alguien me explicara cómo se escriben las matemáticas aquí. Gracias.