Para cada primer$p$%, podemos considerar el conjunto de progresión aritmética hecha de números primos que incluyen$p$:$A_p=\{\{a_i\}_{i=1}^k \mid \text{$ \ {a_i \} _ {i = 1} ^ k$ is an arithmetic progression, each $ a_i$ is a prime, and $ p = a_j$ for some $ j$}\}$. Como no existe una progresión aritmética infinita de los números primos (ya que para$a+nb$,$a \mid (a+na)$) tenemos una secuencia particular en$A_p$ que es la más larga entre las secuencias en$A_p$. Podemos llamar su longitud$\alpha(p)$. ¿Se ha estudiado esta función? ¿O tiene valores explícitos triviales?
Respuestas
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Voy a asumir que usted está considerando positivos los números primos. Si un primer progresión (de longitud $>1$) contiene $p$, entonces la diferencia común no puede ser divisible por $p$. Esto le da un a priori del límite superior de $2p-1$ sobre la longitud de la progresión.
Uno puede enfocar esta a una cota superior de a $p$ equilibrando el hecho de que la diferencia común no puede ser grande (cosa que no hay ninguna habitación antes de $p$) contra el hecho de que debe ser divisible por muchos de los pequeños números primos (otra cosa no puede ir mucho más allá de $p$).
Así que hay un límite superior de $\alpha(p)\le p$. Esto generalmente se cree para ser el mejor posible, ya que el estándar de conjeturas (por ejemplo, Schinzel la Hipótesis H) implicaría que los $\alpha(p)=p$. Por otro lado, los límites inferiores son muy difíciles de conseguir. Pero aún no sabemos, por ejemplo, que el $\alpha(p) > 2$ para todos los impares primos $p$ (sin embargo, se sabe que es cierto para la gran mayoría de los números primos por Montgomery y Vaughan trabajo en el excepcional conjunto de Goldbach es una conjetura).
Gudmundur Orn
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Aquí están algunas ideas sobre el problema, va a la intención de la pregunta, más que el contenido.
Por ejemplo, el primer progresión aritmética que contengan $2$ tendrá de longitud en la mayoría de las $2$... y así es aburrido.
Hay progresiones aritméticas arbitrariamente largas que consta sólo de números primos. Este es el tema de la Verde Tao Teorema. La prueba no es nada constructivo, y parece que una construcción pueda ser radicalmente más difícil. Lo que usted está pidiendo es estrictamente más difícil de este resultado, y es probable que más allá de los métodos actuales.
