Grupo de orden$2n$ y subgrupos de orden$n$

Question

De un examen oral francés (segundo año):

Permita que$G$ sea un grupo finito de orden$2n$. Muestre que la cantidad de subgrupos de$G$ de la orden$n$ nunca es$2$.

No tengo ideas!

Answer 1

SUGERENCIA: Suponga que $H$ $K$ son distintos subgrupos de $G$ orden $n$, y deje $L=H\cap K$. Deje $D=G\setminus(H\cup K)$.

• Mostrar que si $x\in H\setminus L$,$x(K\setminus L)\subseteq D$.
• A la conclusión de que $|H\setminus L|\le|L|$ y que, por ende,$|L|=\frac{|H|}2=\frac{n}2$.
• Mostrar que $L\cup D$ es un tercer subgrupo de $G$ orden $n$.

Usted no necesita esto, pero en realidad $L$, como $H$$K$, es normal en $G$, e $G/L$ es (isomorfo a) el Klein $4$-grupo, que tiene tres subgrupos de orden $2$; una es $H/L$, una es $K/L$, y una es $(L\cup D)/L$.

Answer 2

Suponer que no,

Entonces$H,K$ es el subgrupo de índice$2$, por lo tanto, es normal. Por lo tanto,$H\cap K$ es normal en$G$ y$|H\cap K|$ tiene índice$4$ en$G$.

Por lo tanto,$G/H \cap K\cong Z_4$ o$G/H \cap K\cong Z_2 \times Z_2$, en primera instancia$G$ tiene un subgrupo uniq de índice$2$ que incluye$H\cap K$, en el segundo caso$G$ tiene una $3$ subgrupo de índice$2$ que incluye$H\cap K$. Contradicción.