Cómo calcular $\int_C {e^{3z}-z\over (z+1)^2z^2}$ ?

Question

Me piden que calcule la integral $$ \int_C {e^{3z}-z\over (z+1)^2z^2} $$ donde $C$ es un círculo con centro en el origen y radio ${1 \over 2}$ .

Mi enfoque fue separar la integral como una diferenciación de 2 integrales de contorno:

$$ \int_C {e^{3z}-z\over (z+1)^2z^2} = \int_C {e^{3z}\over (z+1)^2z^2} - \int_C {1\over (z+1)^2z} $$

Luego calculé el residuo de cada integral de contorno con una serie de Laurent alrededor de $z_0 = 0$ :

$$ {e^{3z}\over (z+1)^2z^2} = {1\over (z+1^2)}\ .\ e^{3z}\ .\ {1\over z} $$

$$ {e^{3z}\over (z+1)^2z^2} = \sum_{n=0}^\infty {3^nz^{n-2}\over n!}\ .\ (1-2z+3z^2+...) $$

$$ {e^{3z}\over (z+1)^2z^2} = {a_{-2}\over z^2}+{-2+3\over z}+a_0+... $$

Así que el residuo de esta integral de contorno es $1$ y el resultado final es $2\pi i$

Hice lo mismo con el otro countour integral:

$$ {1\over (z+1)^2z} = {1\over z}\ .\ (1-2z+3z^2+...) $$

$$ {1\over (z+1)^2z} = {1\over z}-2+3z^2+... $$

Así que el residuo de esta integral de contorno es también $1$ y el resultado final es $2\pi i$

Luego sustituyo mis resultados en la integral de contorno original:

$$ \int_C {e^{3z}-z\over (z+1)^2z^2} = 2\pi i - 2\pi i $$

Y aquí es donde está mi problema (me sale cero), ¿alguien puede indicarme qué he hecho mal?

Answer 1

Como alternativa, utilice Fórmula de diferenciación de Cauchy en la función $f\colon \mathbb C\setminus\{0\}\to \mathbb C, z\mapsto \dfrac{e^{3z}-z}{(z+1)^2}$ que da

$$\int _C \dfrac{e^{3z}-z}{z^2(z+1)^2}\mathrm dz=2\pi if'(0)=2\pi i\left[\dfrac{z+e^{3z}(3z+1)-1}{(z+1)^3}\right]_{z=0}=0.$$

Answer 2

¿Por qué no debería ser el valor $0?$

Pero una manera más fácil de resolver esto es el uso de lo siguiente:

$\frac{e^{3z}-z}{z^2(z+1)^2}=\frac{-2(e^{3z}-z)}{z}+\frac{e^{3z}-z}{z^2}+\frac{e^{3z}-z}{z+1}+\frac{e^{3z}-z}{(z+1)^2}$ .

Entonces la integral de los 2 últimos sumandos será cero (teorema de la integral de Cauchy)

Y las otras 2 integrales se pueden calcular fácilmente con la fórmula de la integral de Cauchy.