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Función en un conjunto de potencia

Deje $f\colon \mathcal{P}(A)\mapsto \mathcal{P}(A)$ ser una función tal que $U \subseteq V$ implica $f(U) \subseteq f(V)$ por cada $U, V \in \mathcal{P}(A)$. Mostrar que existe una $W \in \mathcal{P}(A)$ tal que $f(W) = W$.

Esto es lo que he estado pensando:

Aviso de $A \subseteq A$ por lo tanto $f(A) \subseteq f(A)$ y $f(A) \in \mathcal{P}(A)$, esto implica $f(A) \subseteq A$.

A continuación,$f(f(A)) \subseteq f(A) \subseteq A$$f(f(f(A))) \subseteq f(f(A)) \subseteq f(A) \subseteq A$.

Si $A$ es finito, este proceso debe dejar con el que desee $W$ (creo) después de un número finito de iteraciones. No estoy tan seguro sobre el caso infinito.

Yo incluso podría ir sobre esta totalmente equivocado, así que cualquier sugerencia sería muy apreciada. Gracias!

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DanV Puntos 281

Este es el teorema de Knaster-Tarski, en realidad. Déjame darte una pista.

Y esencialmente estás en el camino correcto, pero en lugar de construirlo de forma transfinitiva, ¿qué sucede cuando miras todos los conjuntos$\{B\mid f(B)\subseteq B\}$? ¿Cuál sería su intersección?

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