Esto es simplemente proporcional a la función de correlación de 3 taquiones. Te advierten por encima de la ecuación que el factor de conservación del momento como $$(2\pi)^D\delta^{(D)}(k_1-k_2-k_3)$$ se omite en todas partes y ni siquiera estoy seguro de que su normalización de los estados incluya el poder de $2\pi$ factor. Elige el libro de texto de Polchinski si quieres que todas las fórmulas sean mucho más robustas y fiables sobre detalles similares. En cualquier caso, esta función delta es la que se obtiene de todos los factores de la forma $\exp(ik_j\cdot x)$ para $j=1,2,3$ .
Tienes el primer poder de $g$ que es algo bueno, una parte del resultado.
Una de las dos últimas cosas excesivas que tienes en tu cálculo es el exponencial de $\sum \alpha_{-n}z^n/n$ . Pero este exponencial puede sustituirse simplemente por $1$ porque todos los operadores de creación $\alpha_{-n}$ para que sea positivo $n$ aniquilar el vector ket $\langle 0;k_1|$ en el lado izquierdo - la afirmación conjugada hermitiana a la afirmación de que los operadores de aniquilación $\alpha_{n}$ para que sea positivo $n$ aniquilar los vectores ket de la derecha. Así, a partir de la expansión de Taylor para la exponencial, sólo el término principal $1$ sobrevive.
Eso es genial y el único factor excesivo que te queda es $z^{k_2 k_1-1}$ . Pero esto también es igual a $1$ porque el exponente desaparece cuando se cumplen todas las condiciones físicas. Obsérvese que $$k_1\cdot k_2 = \frac 12[(k_1+k_2)^2 - k_1^2-k_2^2] =\frac 12( k_3^2-k_1^2-k_2^2) $$ donde, en el segundo $=$ paso, utilicé la conservación del momento porque todo se multiplica por la función delta para la suma de momentos, de todos modos. Sin embargo, el cálculo también tiene sentido para los casos en los que la cáscara $k_1,k_2,k_3$ sólo. Pero la masa al cuadrado del taquión de cuerda abierta es $$-k^2=m_T^2=-\alpha'$$ donde el signo menos delante de $k^2$ surge porque utilizan la convención de la mayoría de las veces para el sistema métrico. Así, en las unidades $\alpha'=2$ utilizan selectivamente para las cuerdas abiertas (uno tiene $\alpha'=1/2$ para cadenas cerradas, para hacer las cosas más confusas), $$k_1\cdot k_2 = \frac 12(k_3^2-k_1^2 - k_2^2) =-\frac 12 (-2+1)m_T^2 = \frac 12\alpha' =1$$ por lo que el exponente anterior $z$ es en realidad $k_1\cdot k_2-1=0$ y todos los factores, excepto $g$ son iguales a uno. Nótese que las amplitudes de las cuerdas son on-shell (amplitudes de dispersión) y los cálculos sólo se simplifican cuando se imponen las condiciones on-shell. De hecho, las amplitudes generales de las cuerdas no tienen ninguna extensión natural o canónica para los momentos fuera de la envoltura (aunque, por supuesto, cuando escribes una teoría de campo efectiva de baja energía para la teoría de cuerdas, ¡esa teoría también te da fórmulas para las amplitudes fuera de la envoltura!)
Si quieres un tratamiento más pedagógico que no utilice estas convenciones "incoherentes" para $\alpha'=1/2$ o $2$ El libro de Polchinski, que no omite las funciones delta de conservación del momento, es más explícito en cuanto a los momentos en los que se utilizan las condiciones en la cáscara y cómo, por ejemplo, el libro de Polchinski o uno de los competidores más recientes. Por otro lado, si empiezas a calcular tantas amplitudes como hicieron Green y Schwarz a principios de la década de 1980, puede ser bastante útil utilizar todas las simplificaciones "aparentemente descuidadas" en la notación que siguen capturando toda la esencia física.
