Si$\int_a^b f(x)\,dx=0$, prueba que$f(c)=0$ para al menos uno$c$ en$[a,b]$

Question

Suponga $f$ es continua en a $[a,b]$ si $\int_a^b f(x)\,dx=0$, demuestran que, a $f(c)=0$ durante al menos un $c$$[a,b]$.

El problema no dice nada acerca de la función de $f$, es seguro asumir que:

1. $f$ es una función impar y se supone que hay algunos $x_1$ $x_2$ en $[a,b]$ tal que $f(x_1)<0$, $f(x_2)>0$ y aplicar el Teorema de Bolzano a la conclusión de que hay al menos un $c$ $[a,b]$ tal que $f(c)=0$.

2. $f$ $0$ todos los $x$ $[a,b]$ por lo tanto es trivial.

Es este argumento correcto?

Answer 1

Por el teorema del primer valor medio para la integración , tenemos que existe$c\in\left[a,b\right]$ tal que (asumiendo$a<b$)$$0=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=f\left(c\right)\left(b-a\right)$ $ luego$$f\left(c\right)=0.$ $

Answer 2

Considere la función$$ F(t)=\int_{a}^{t}f(x)dx $ $ then$F(a)=0,$$F(b)=0$ y por el teorema fundamental de cálculo$F(t)$ es continuo en$[a,b],$ diferenciable en$(a,b)$ y$F^{\prime}(t)=f(t).$

Aplique el teorema de Rolle al$F(t),$ obtenemos existe al menos un$c\in(a,b)$% tal que$F^{\prime}(c)=f(c)=0.$

Answer 3

Está más o menos en la pista de la derecha pensar acerca de las áreas bajo la curva (a pesar de que "extraño" no es el término apropiado). Sin embargo, demostrando el contrapositivo lugar produciría un limpiador de argumento sin necesidad de los casos. Es decir, supongamos $f(x) \neq 0$ todos los $x \in [a, b]$.

A continuación, $f(x) > 0$ o $f(x) < 0$ todos los $x \in [a, b]$ por el teorema del valor intermedio. Desde allí, se puede aplicar la misma definición de la $\displaystyle \int_a^b f(x) dx$ a de terminar. En particular, para cualquier partición $\mathcal{P}$$[a, b]$, tendremos: $$\displaystyle \int_a^b f(x) dx \geq L(f, \mathcal{P}) = \sum_{i} (x_{i+1} - x_i)\inf \Big( \{f(x) \ | \ x \in [x_i, x_{i+1}] \} \Big)$$ donde $x_i$'s $\in \mathcal{P}$.

Así que...