¿Cómo funciona una sucursal de corte de definir una rama?

Question

Estoy estudiando el análisis complejo y tengo problema de comprensión de la concepto de rama de corte.

La conferencia dibujar esto como algunos curva que empieza en un punto y se va y en cierta dirección (por ejemplo, algo como $y=x$ $x\geq0$ , pero no tiene que ser en línea recta).

La definición dada por la conferencia

Una rama de corte es una curva que se presenta en el fin de definir un rama

y luego agregó una nota

Puntos en la rama de corte están en singular.

Por favor alguien puede explicar cómo se hace una curva de definir una rama de la una función ?

Como yo lo entiendo, si $f(z)=u(r,\theta)+iv(r,\theta)$ entonces queremos $\alpha<\theta\leq\alpha+2\pi$ de $\alpha$. ¿Cómo una curva que define a esta $\alpha$ ?

¿Por qué son los puntos de una rama cortada singular ? estamos asumiendo también algo acerca de la función que estamos tratando de definir una rama de la misma ?

Answer 1

Voy a demostrar con el ejemplo de la compleja logaritmo.

Recordemos que un número complejo $z=x+iy$ se puede poner en "polar formulario" $z=Re^{i \theta}$ donde $R$ es la distancia de $z$ el origen y el $\theta$ es el ángulo de a $z$ en todo el plano complejo mide positivamente de la $x$-eje. El complejo logaritmo tiene esta fórmula para $z=Re^{i \theta}$:

$$\log z = ln |R| + i \theta.$$

Que (esperemos) saber que si $z=Re^{i \theta}$, entonces también podemos representar $z$ $z=Re^{i (\theta + 2\pi)}$ y en general como $z = Re^{i (\theta + 2 \pi k)}$. Considere lo que sucede cuando usted conecte estas diferentes representaciones en la fórmula para $\log z$. Si usas $Re^{i \theta}$ obtener $\log z = ln |R| + i \theta$, pero si se usa $Re^{i (\theta + 8\pi)}$ obtener $\log z = ln |R| + i (\theta + 8 \pi)$.

Si se hace una gráfica de estos puntos de ejecutar en un aparente problema, no impactaron en el mismo lugar! La consecuencia de esto es que el complejo logaritmo no es una función (dado que las funciones tienen una sola entrada a una única salida, esta función toma una sola entrada para múltiples salidas).

Aquí está la "superficie de Riemann" para el complejo de logaritmo:

$\qquad\qquad\qquad$

-- no se preocupe demasiado acerca de cómo se generan, pero darse cuenta de lo que está diciendo. Si se escoge el punto de $z = Re^{i \theta}$ sobre el plano complejo y mapa a través del logaritmo complejo, hemos visto que te estas infinito número de valores diferentes; la imagen sólo representa esto.

Lo que una rama separada hace es restringir las salidas del logaritmo a un bucle alrededor de este sacacorchos de la superficie (que uno es depende del rango de valores que usted elija para su corte). Por otra parte, cuando se definen las cortes de ramas, hay un montón de puntos que nos hacen "no definido" - la razón de esto es que mientras que usted puede escoger un determinado bucle para "dar la vuelta" en la superficie de Riemann, usted nunca puede tener continuidad en todo el lugar de definir el corte debido a los límites de diferentes lados se encuentran a distintas alturas y por lo tanto no puede ser igual (y por lo tanto no será continuo, que generalmente es una mala cosa en el cálculo).

Te voy a dar algo específico. Por ejemplo, si usted elige la rama de corte a ser el eje real negativo, entonces usted está permitiendo $-\pi < \theta < \pi$ -- de que la elección se corresponden con el "nivel" en la superficie de Riemann que tiene el rojo. Tenga en cuenta que $z = Re^{-i \pi} = Re^{i \pi}$.

Con esto, se puede ver lo que he dicho antes acerca de la continuidad -- si te acercas a $Re^{i \pi}$ a partir de los valores de $\theta$ mayor que $\pi$, que sería en la parte amarilla de la superficie, pero si te acercas a $Re^{i \pi}$ a partir de los valores de $\theta$ menos de $-\pi$, están más cerca de la púrpura de la parte de la imagen. Nos hemos acercado a $z = Re^{-i \pi} = Re^{i \pi}$ dos maneras diferentes y obtuve dos respuestas diferentes, en contradicción con la continuidad que generalmente nos gusta tener en el cálculo.

edit: me gustaría agregar este dominio para colorear imagen de $\log z$ que he encontrado en este Mathematica de intercambio de la pila post. Los colores representan el argumento de la salida del logaritmo -- donde cambia de colores en el ángulo $\pi$ es precisamente el mismo salto de discontinuidad estoy hablando de arriba:

$\qquad\qquad\qquad$

Answer 2

Una rama de corte es algo más general que la elección de una variedad de ángulos, que es sólo una manera de arreglar una rama de la función logaritmo. Una rama de corte es un conjunto mínimo de valores de modo que la función considerada puede ser definido consistentemente por la continuación analítica en el complemento de la rama de corte. No solo definir una rama, uno debe también fijar los valores de la función en algún conjunto abierto que la rama de corte no cumple. A continuación, continuación analítica únicamente define un (valor único) de la función en el complemento de la rama de corte, que la función es una rama de la multi-función con valores que a continuación analítica sin rama recorte podría definir. Por definición, los puntos en la rama de corte son singulares en el sentido de que en su barrio el límite de los valores de la rama elegida no existe; la definición de un valor para la sucursal de alguna forma hacen que la rama discontinuo, por lo que es mejor dejar sin definir.

Aquí es cómo funciona para el logaritmo. Para empezar, el complejo de la función exponencial puede ser definido por $\exp z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}$, una serie que converge para todos los $\def\C{\mathbf C}\def\i{\mathbf i}z\in\C$, y por lo tanto determina que en todas partes definidas de una sola función con valores de $\C\to\C$. La función no es ni inyectiva (desde $\exp(z+2\pi\i)=\exp z$ todos los $z$) ni surjective (sicne $\exp z\neq0$ todos los $z$) así que uno no puede definir el logaritmo como la inversa de la función; sin embargo, como formal de alimentación de la serie hay una relación inversa alrededor de $\exp0=1$ dada por $$\ln(1+z)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{(-z)^n}n.$$ This series is divergent for $|z|>1$ and for $z=-1$, but it defines a (single-valued) function $\ln:D\a\C$ for $D=\{\z\in\C:|z-1|<1\,\}$, and it satifies $\exp(\ln z)=z$ for all $z\in D$. This function has no other singularities on the border of $D$ than at $z=0$, so its definition can be extended across the border at other points, by writing a power series around other points $z_0\neq1$ that coincide with the previous definition in the neighbouhood of $z_0$ but which continue to converge some way beyond $D$. Doing so, and still calling the extended function $\ln$, the equation $\exp(\ln z)=z$ continues to hold (the nature of the continuation process makes it impossible for such a relation to suddenly start to fail). So the proces defines an extended partial right-inverse of $\exp$. However, the continuation cannot be consistent when going around $0$ a full tour: the imaginary part of $\ln z$ must be a choice for the value of $\arg z$ (this follows from $\exp(\ln z)=z$), and this choice would increase by $2\pi$ when making such a tour. So in order to get a single-valued continuous function, one has to exclude some points of $\C$, other than the singularity at $0$ which is excluded by necessity, from the domain of $\ln$. This is where the choice of a branch-cut come in; in this case it must be a curve from $0$ al complejo infinito, lo que no puede ser evitado por cualquier camino continuo alrededor del origen.

La opción habitual para la rama de corte es el eje real negativo, dando a la rama principal del logaritmo, pero otros cortes de ramas definir otras ramas. Por otra parte, incluso con una rama determinada de corte se podría tomar otro punto de partida que el valor de $\ln 1=0$; uno podría, por ejemplo, tome $\ln 1=6\pi\i$ lugar y se extienden desde allí a la rama de corte, o empezar en otro punto (que incluso podría ser necesario si $1$ mentira en la rama de corte), decir con $\ln2\i=\ln2-\frac32\pi\i$. Ya que la relación $\exp(\ln z)=z$ mantiene continuación, se debe exigir esta relación en cualquier rama que se define, de modo que uno no es libre de elegir cualquier valor de inicio para el logaritmo en la elección de una rama. Sin embargo, no todas las funciones con las ramas se define como la "inversa" de otra función, por lo que tener un rectores de la relación es un poco particular para el caso del logaritmo; el general de la regla de lo que puede ser la rama de un inicialmente definidos localmente función, es que la rama puede ser obtenido en varias ocasiones se extiende de forma analítica y borrado de los viejos valores de la función que les permita ser reemplazado con diferentes valores obtenidos por la continuación. Por ejemplo, una rama del logaritmo $\ln 1=6\pi\i$ puede ser obtenido a partir de nuestros datos de partida, por encima continuando por tres giras hacia la izquierda alrededor del origen.