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¿Cómo contar el número de parámetros libres en una matriz de transformación ortogonal?

Demuestre que la cantidad de parámetros libres en una matriz de transformación ortogonal$n\times n$ es igual a$\frac{n(n-1)}{2}$. Por ejemplo, la parametrización de la matriz ortogonal$2 \times 2$ requiere solo un parámetro, es decir,$\theta$.

Y la forma paramétrica es

$$ M_2 = \ pm \ left (\begin{array}{cc} \cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta & \cos\theta \end {array} \ right). $$

6voto

JiminyCricket Puntos 143

Hay$n^2$ de parámetros libres en una matriz$n\times n$. La ortogonalidad impone restricciones de$n(n+1)/2$, a saber,$n$ restricciones de normalización en las columnas y$\binom n2=n(n-1)/2$ restricciones de ortogonalidad, una para cada par de columnas. Eso deja$n^2-n-n(n-1)/2=n(n-1)/2$ grados de libertad.

5voto

codemac Puntos 689

Utilice el diccionario "transformación ortogonal$\leftrightarrow$ orthonormal basis". Para el primer vector de base, elija cualquier punto en la esfera de la unidad ($n-1$ de parámetros libres). Para el segundo vector base, elija cualquier punto en la esfera de la unidad que sea ortogonal al primer vector base ($n-2$ de parámetros libres). Etc

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