Cantidad de elementos de orden$2$ en grupos de orden abelianos$2^{n}$

Question

Estoy estudiando la teoría de grupos y uno de los ejercicios que encontré:

Pregunta: Demuestre que un grupo de orden abeliano$2^{n}, n \in \mathbb{N}$ debe tener un número impar de elementos de orden 2.

No estoy seguro de cómo abordar este problema. Cualquier sugerencia sería apreciada. No prefiere respuestas completas pero podría usar una para autoverificación. Gracias.

Answer 1

Sugerencia: El producto de dos de orden dos elementos es otro elemento de orden dos (o la identidad).

Mucho más directo a la pista:

El conjunto de elementos de orden dos, se unió con el elemento de identidad, forman un subgrupo.

La respuesta:

El orden de ese grupo debe dividir $2^n$, por lo que debe ser $2^k$ algunos $k<n$. Tomar la identidad y usted tiene que el conjunto de la orden-dos elementos ha $2^k-1$ elementos.

Answer 2

Sugerencia : Los elementos de orden exactamente cuatro vienen en pares, a saber,$g$ y$g^3$. Los elementos de orden$8$ vienen en cuartetos,$g, g^3, g^5, g^7$. Los elementos de orden$16$ vienen en octetos.

El elemento de orden$1$ está solo.

Answer 3

Sugerencia: defina una relación en$G$ por $$ a \ sim b \ quad \ text {si y solo si} \ quad b = a \ text {o} b = a ^ {- 1} $$ Demuestre esto es una relación de equivalencia y que las clases de equivalencia tienen uno o dos elementos. ¿Cuáles tienen solo un elemento?