¿Cuál es la diferencia entre números hiperreales y surrealistas?

Question

El artículo de la Wikipedia sobre surrealista números de los estados que hyperreal los números son un subcampo de la surreals. Si entiendo correctamente, tanto en los campos contienen:

• los números reales
• una jerarquía de números infinitesimales como $\epsilon, \epsilon^2, \epsilon^3, \ldots$
• una jerarquía de los números transfinitos como $\omega, \omega^2, \omega^3, \ldots$ donde $\omega = 1/\epsilon$

y ambos permiten las cuatro operaciones aritméticas para ser aplicadas a cualquier combinación de lo real, infinitesimal, y los números transfinitos. Entonces, ¿cuál es la diferencia, si la hubiere, entre estos sistemas? Si la Wikipedia declaración es exacta, ¿qué números son surrealistas, pero no hyperreal?

Answer 1

Hay muchos que no isomorfo no estándar de los modelos de reales; cualquiera de ellos puede ser llamado hyperreals, aunque un modelo específico (el ultrafilter de la construcción en $\mathbb{R}^\mathbb{N}$) es a menudo llamado "el" hyperreals.

Los modelos son generalmente tomadas como conjuntos. El surrealista números son una clase adecuada: son "demasiado grandes" para ser considerado un no-modelo estándar de los reales en este sentido.

Pero hasta cierto punto, realmente no tenemos que insistir en modelos de conjuntos: con la serie adecuada de la teoría de los axiomas, creo que el surrealista números son también un no-modelo estándar de los reales. De hecho, sería el modelo más grande.

Si hemos de elegir uno en particular (de tamaño) no estándar del modelo-por ejemplo, "el" hyperreals, entonces no podemos comparar sus elementos a lo surrealista números directamente. En primer lugar, tendríamos que elegir una forma de incrustar el hyperreals en el surreals. No hay una única manera de hacer esto. De hecho, hay un gran número de formas, de toda una clase adecuada de incrustaciones! (Creo que) podemos elegir para hacer cualquier particular surrealista de un hyperreal número por la elección de un adecuado incrustación.