Permita que$T$ sea un mapa lineal surjective tal que$ \|Tx\| \geq \frac{1}{2017} \|x\|$ para todos$x \in X$. Muestre que$T$ está limitado.

Question

Problema: permita que$T$ sea un mapa lineal surjective de un espacio de Banach$X$ en un espacio de Banach$Y$ tal que$$ \|Tx\| \geq \frac{1}{2017} \|x\|$$ for all $ x \ en X$. Show that $ T $ está limitado.

Pensé en probar por contradicción: diciendo que si$T$ no está limitado, entonces$T$ no es continuo (ya que sabemos que$T$ está limitado es equivalente a$T$ es continuo) , pero me lleva a ninguna parte.

¿Alguien podría darme una propina o una solución para este problema? Gracias

Answer 1

Después de todos los comentarios que hice, tengo esto, espero que sea correcto:

Permita que$T$ sea un mapa de surjective$T : X \to Y$. Es obvio que$T$ es injective ya que$\|Tx\|=0$ implica$\|x\|=0$ por lo tanto$T^{-1}$ existe y$$\|T T^{-1}x\|=\|x\|\geq \frac{1}{2017} \|T^{-1}x\|$ $ o$$\|T^{-1}x\|\leq 2017\|x\|$$ which means that $ T ^ {-1} $ está limitado.

Ahora estamos usando el corolario del teorema de mapeo abierto "Let$X$ y$Y$ sean espacios de Banach y$T \in \mathcal{L}(X,Y)$ sean uno a uno y hasta. Entonces$T^{-1}$ es continuo"

De esta forma,$T=(T^{-1})^{-1}$ es continuo y, por lo tanto,$T$ está delimitado.