Muestre que$\omega^2+1$ es un número primo.

Question

Muestre que$\omega^2+1$ es un número primo.

¿Hay una manera fácil de mostrarlo? Intenté, como precalentamiento, mostrar que$(\omega+1)\omega\neq \omega^2+1$ y fallé. Estoy bastante seguro de que echo de menos algo trivial aquí.

$\gamma$ es un número primo iff para cualquier$\alpha,\beta<\gamma$ tenemos$\alpha\beta\neq\gamma$

$\omega$ es el primer número ordinal infinito.

Answer 1

A ver que ordinales $\omega^2+1$ es primo, supongo que podríamos factor como $\omega^2+1=\alpha\beta$, $\alpha$ $\beta$ menos de $\omega^2+1$. Es bastante fácil ver que $\alpha$ $\beta$ también debe ser menos de $\omega^2$, y así delimitada por $\omega\cdot n$ algunos $n$.

Si $\beta$ es finito, entonces a partir de la $\alpha<\omega\cdot n$ para algunos finito $n$, tendríamos $\alpha\beta<\omega^2$, por lo que esto no funciona.

Por lo $\beta$ debe ser infinito. Si $\alpha$ es finito, entonces $\alpha\beta<\alpha\omega\cdot n=\omega\cdot n<\omega^2$, ya que el $\alpha\omega=\omega$ finitas $\alpha$.

Así que ambos son infinitos. Tenga en cuenta que ninguno de ellos puede ser un ordinal límite, ya que si uno de ellos era un ordinal límite, a continuación, $\alpha\beta$ también sería un ordinal límite, que no lo es.

Así que ambos son, al menos,$\omega+1$. En consecuencia, $\alpha\beta$ al menos $(\omega+1)(\omega+1)$, que es igual a $\omega^2+\omega+1$, que es mayor que $\omega^2+1$.

Por lo $\omega^2+1$ es primo.

Answer 2

Aquí es una prueba de que el lema usted no sabe cómo demostrar:

Lema:$$(\omega+1)\omega=\omega^2$$

Tomando mi definición de la multiplicación de wikipedia, consideramos que una malla de puntos que se colocan como $\omega+1$ de izquierda a derecha y como $\omega$ desde la parte superior a la parte inferior. Asignamos a esta red un orden lexicográfico de tal forma que si dos puntos están en filas diferentes, el punto inferior es más grande, y si dos puntos están en la misma fila, la de la derecha, el punto es mayor.

Ya que cada fila está organizado como $\omega+1$, hay un último elemento de cada fila. Llamar a este elemento $k_\alpha$ cuando aparece en la fila $\alpha$.

Ahora reorganizar la cuadrícula tomando $k_\alpha$ y pasó de ser el último elemento de la fila $\alpha$ y en lugar de hacer el primer elemento de la fila $s(\alpha)$. Pretendemos que este no cambia el tipo de orden de la red debido a los $k_\alpha$ sigue siendo mayor que todos los otros elementos de cualquier fila debajo de la fila $s(\alpha)$ y menos que cualquier otro elemento en cualquier fila encima de la fila $\alpha$.

Sin embargo, este nuevo acuerdo es precisamente un $\omega\times\omega$ cuadrícula, por lo que ha pedido el tipo de $\omega^2$. Gracias JDH por ayudarme a ver esto.

Answer 3

Bien, echemos un vistazo a los posibles productos de la forma $(\omega i+j)(\omega k+l)$ finitos $i,j,k,l$. Es evidente que sólo podemos conseguir algo que implican $\omega^2$$i\ne 0$$k\ne 0$, por lo que en los siguientes, en tanto se supone.

En primer lugar tenemos la distributividad de la izquierda factor más de la de la derecha, por lo tanto $$(\omega i+j)(\omega k+l) = (\omega i + j)\omega k + (\omega i + j)l$$ A continuación, tenemos $$(\omega i + j)l = \begin{cases} \omega i + j + \omega i + j + \ldots + \omega i + j = \omega il + j & l\ne 0\\ 0 & l = 0 \end{casos}$$ o el uso de la delta de Kronecker $$(\omega i + j)l = \omega il + j(1-\delta_{l0})$$ Además contamos con $$(\omega i + j)\omega = \sup_{n<\omega} (\omega i + j) n = \sup_{n<\omega} (\omega i n + j) = \omega^2$$ y por lo tanto $$(\omega i + j)\omega k = \omega^2 k$$ Poniendo todo junto, por lo tanto, obtener $$(\omega i+j)(\omega k+l) = \omega^2k + \omega i l + j = \omega^2 k + \omega i l + j$$ Ahora queremos $$(\omega i+j)(\omega k+l) = \omega^2 k + \omega i l + j(1-\delta_{l0}) \stackrel!= \omega^2+1$$ Entonces está claro que necesitamos $$\begin{aligned} k &= 1\\ i l &= 0\\ j(1-\delta_{l0}) &= 1 \end{aligned}$$ Desde $i\ne 0$, la segunda ecuación se reduce a $l=0$. Sin embargo, esto significa que la tercera ecuación se reduce a $0=1$ cual es, por supuesto, una contradicción.

Por lo tanto, $\omega^2+1$ no puede ser escrito como el producto.