Usando solo los dígitos 2,3,9, ¿cuántos números de seis dígitos se pueden formar, que son divisibles por 6?

Question

Usando solo los dígitos$2,3,9$, ¿cuántos números de seis dígitos se pueden formar, que son divisibles por$6$?

Las opciones son:

(UN) $41$

(B)$80$

(C)$81$

(D)$161$

El último dígito debe ser$2$. Pero me enfrenté al problema al calcular la cantidad de números que son divisibles por$3$. Alguien por favor ayudame.

Answer 1

Como el número debe ser un múltiplo de$3$, la suma de dígitos debe ser divisible por$3$: como los dígitos$3$ y$9$ son ellos mismos divisibles por$3$, por lo tanto, deberíamos usar tres o seis$2$ s.

Usando el 6$2$ s, solo hay un número.

Usando el 3$2$ s, el número tendrá la forma:$$XXXXX2$$ where each $ X$ represents a digit. We need to select an additional two $ 2$s, which can be placed in $ \ binom52 = 10$ ways. The remaining three positions will then have two options each ($ 3$ or $ 9$). So, we have a total of: $$\binom52 \times 2^3 =80$$ and a grand total of $ 81 $ ways.

Answer 2

Aquí están algunos consejos:

Tienes razón en que tiene que terminar con un $2$. Ahora el resto de los dígitos ha de añadir hasta un número que es divisible por $3$. Así que si usted llene el resto de las ranuras de su $6$ números de dos dígitos con $9$s y $3$s que son seguras, PERO el $2$ en la unidad de dígitos en lugar de hacer lo que tienen que ocultar dos más $2$s en su número. Así que, esencialmente, lo que está después es la forma en que muchas maneras que usted puede poner dos más $2$s y llenar el resto con $9$s o $3$s en el resto de los cinco dígitos lugares. O, por supuesto, usted puede llenar los seis lugares con $2$s.

Espero que esta ayuda :)

Answer 3

Vamos a encontrar un divisability de prueba por 6.

\begin{equation} 1 = 1 \mod 6\\ 10 = 4 \mod 6\\ 100 = 4*10 = 4 \mod 6,\\ \text{and so on for higher powers of 10} \end{equation}

Así, encontramos: un número X es divisible por 6 fib, el corte de la última cifra, tomando la suma de los otros dígitos 4 veces y añadir la última cifra del resultado es divisible por 6.

Se le pedirá un código de 6 dígitos número utilizando sólo $2,3,9$. Estamos, pues, pedir a encontrar $a,b,c,d,e,f \in {2, 3, 9}$ tal que $4 * (a + b + c + d + e) + f = 0 \mod 6$. Como se señaló, el último dígito debe ser $2$, lo que se puede concluir a partir de la ecuación anterior con bastante facilidad al notar que f debe ser par. Así llegamos a la conclusión de $4 * (a + b + c + d + e) = 4 \mod 6$ $a + b + c + d + e = {1,4} \mod 6$ $a + b + c + d + e = 1 \mod 3$ sigue. Dado que tanto $6$ $9$ reducir el modulo 6, 2 o 5 más dígitos debe ser igual a $2$, el resto puede ser elegido libremente.

\begin{equation} \binom{5}{2} * 2^3 + \binom{5}{5} * 2^0 = 81 \end{equation}