¿Mi prueba en las funciones inversas tiene sentido?

Question

Estoy probando esta pregunta:

deje $g : N \rightarrow M$$ A \subseteq M$. Probar que si $f$ es surjective, a continuación, $g(g^{-1}(A)) = A$

Para la prueba de esto es lo que he dicho:

(hacia delante), Vamos a $y \in g(g^{-1}(A)) $, también permite decir que $\exists x \in g^{-1}(A)$. A continuación, por la subjetividad $g(x) = y$. A continuación,$g(x)=y \in A$. Que nos lleva a la conclusión de que $ g(g^{-1}(A)) \subseteq A$

(inversa) deje $y \in A$, también permite decir que $\exists x \in N$, de tal manera que $g(x)=y\in A$. Esto conduce a $x \in g^{-1}(A)$ que es equivelent a $y = g(x) \in g(g^{-1}(A))$. Esto nos lleva a la conclusión de que $A \subseteq g(g^{-1}(A))$

Por lo tanto $g(g^{-1}(A)) = A$.

Gracias por la ayuda, cualquier mejora de bienvenida

Answer 1

En "adelante" usted no necesita surjectivity. Si $y\in g(g^{-1}(A))$, lo que significa que existe $x\in g^{-1}(A)$$g(x)=y$. Y $x\in g^{-1}(A)$ significa que $g(x)\in A$; por lo $y=g(x)\in A$, y como $y$ era arbitraria, obtenemos que $g(g^{-1}(A))\subseteq A$. La forma en que lo escribió, no decir lo $x$ es, y que escribió $D$ donde debería haber escrito $A$.

Es en "reverse" donde usted necesita surjectivity. Dado $y\in A$ existe $x\in N$$g(x)=y$. Por lo $x\in g^{-1}(A)$, e $y\in g(g^{-1}(A))$. Por lo tanto $A\subseteq g(g^{-1}(A))$. De la manera que usted lo escribió, supongo que estaba tratando de decir algo como lo he dicho, pero realmente no puedo seguir tus oraciones; y que no parecen haber usado surjectivity, que lo haría mal.

A ver que surjectivity es necesario, uno se ve en el caso de que $g^{-1}(A)=\varnothing$. Por ejemplo, vamos a $g:\mathbb R\to\mathbb R$, $g(x)=1$. Tome $A=[2,4]$. A continuación,$g^{-1}(A)=\varnothing$, lo $g(g^{-1}(A))\subsetneq A$.

Answer 2

$x\in f^{-1}(A)\implies f (x)\in A $... Asi que $f(f^{-1}(A))\subset A $...

Por el contrario,$\forall x\in A, \exists y\in N :f (y)=x $ (por surjectivity) ... Eso es:$y\in f^{-1}(A)$. Asi que $x\in f(f^{-1}(A)) $. Por lo tanto,$A\subset f(f^{-1}(A)) $ ...