¿Cuál es el comportamiento de esta función?

Question

¿Cuál es el comportamiento de este $f(a)=(\sqrt a)^{f(\sqrt a)}$ en un determinado $a\in\Bbb R$ ?

¿Converge a algún valor explícito en $a=2$ y si es así, ¿cuál es?

Answer 1

Tampoco estoy seguro de que haya una solución analítica, pero podemos hacer algunas observaciones interesantes:

1. Si escribimos la relación funcional de otra manera $$f(b^2) = b^{f(b)}$$

   podemos ver que si $f(b)= 2$ entonces $b^2$ es un punto fijo de $f$ desde entonces $f(b^2) = b^{f(b)} = b^2.$ (El caso $b=1$ es especial, pero la conclusión sigue siendo válida).

2. También para un punto fijo $b^2$ tenemos que $f(f(b)) = f(2)$ .

3. Sabemos que $f(1) = 1$ . Por tanto, como las aplicaciones repetidas de la función raíz cuadrada convergen a 1, podemos escribir:

   $$f(x) \approx \begin{cases}1 & \text{if }x \approx 1\\ \sqrt{x}^{f(\sqrt{x})}&\text{otherwise}\end{cases}$$ y el resultado convergerá.

4. Con tales aproximaciones, encontramos que:

   • $f(2) \approx 1.52040060871$
   • $f$ es estrictamente creciente; hay exactamente un punto $b$ para lo cual $f(b)=2$ . Se produce en $b \approx 2.80449202$
   • Este punto $b$ es significativo porque implica que $b^2$ es un punto fijo de $f$ . Efectivamente, $b^2 = f(b^2) \approx 7.8651755$

5. Por último, podemos trazar la función; tiene este aspecto:

   

6. Hay una familia de relaciones similares que definen otras funciones: $$f(a) = a^{k\cdot f(a^k)}$$ La función aquí descrita representa el caso $k=\frac{1}{2}$ .

   En $k=1$ podemos encontrar una forma cerrada para la solución. La relación funcional es simplemente $f(a) = a^{f(a)}$ Así que $$\log(f(a)) = \log(a) \cdot f(a) $$ $$\frac{\log(f(a))}{f(a)} = \log(a)$$ $$f(a) = \frac{W[-\log(a)]}{-\log(a)}$$

   donde $W$ es el Lambert $W$ (que puede ser útil para resolver este problema de forma más general).

Answer 2

Parece que tenemos que tomar $a>0$ de todos modos.

Para $a<0$ es indefinido y $f(0)=0^{f(0)}$ también está llena de contradicciones.

$f(1)=1^{f(1)}=1$

Así que asumiendo $f$ es continua y puesto que $\sqrt[n]{a}\to 1$ podemos esperar $\Large f(a)=\sqrt{a}^{\sqrt[4]{a}^{\sqrt[8]{a}^{\cdots}}}$

Sin embargo, no sé si podemos reescribir esta tetración de forma más sencilla.