Convergencia en la distribución de una variable aleatoria discretizada y sigma-álgebras generadas

Question

• Deje $X:\Omega\to \mathbf{X}$ ser una variable aleatoria integrable donde $\mathbf{X}\subset \mathbb{R}^d$ es un conjunto compacto.
• Denotar $\mathbf{X}_n = \{\mathbf{X}_n(1),\dots, \mathbf{X}_n(n)\}$ a ser un n-componente de la partición de $\mathbf{X}$ de manera tal que la partición de $\mathbf{X}_{n+1}$ es un refinamiento de la $\mathbf{X}_n$.
• Set $x_{n,i} \in \mathbf{X}_n(i)$ todos los $n\in\mathbb{N}$$i\leq n$.
• Definir la variable aleatoria $X_n = \sum_{i=1}^n x_{n,i} \mathbb{1}(X \in \mathbf{X}_n(i))$ donde $\mathbb{1}(\mathbf{B})$ es la función del indicador para el conjunto de $\mathbf{B}$.

¿Cuáles son las condiciones que se necesitan para $X_n$ converge en distribución a $X$???

¿Y si el sigma-alegbras generada por $ \sigma^{(n)} =\sigma(\{X \in \mathbf{X}_{(n)}(i)\}, \enspace i=1, \dots, n)$ satisface $\sigma(X) = \sigma(\cup_{n\in\mathbb{N}}\sigma^{(n)})$? Es esto suficiente?

Answer 1

Una condición razonable es que $$ \etiqueta{*} \lim_{n\to +\infty}\max_{1\leqslant i\leqslant n}\operatorname{diámetro}\left(\mathbf X_n(i)\right)=0, $$ donde $\operatorname{diam}\left(A\right)=\sup_{x,y\in A}\left\lVert x-y\right\rVert$. En este caso, ya que $$ X_n\left(\omega\right)-X\left(\omega\right) =\sum_{i=1}^n\left(x_{n,i}-X\left(\omega\right)\right) \mathbf 1\left\{X\left(\omega\right)\in \mathbf X_n(i)\right\}, $$ tenemos $$ \left\lvert X_n\left(\omega\right)-X\left(\omega\right)\right\rvert \leqslant \max_{1\leqslant i\leqslant n}\operatorname{diámetro}\left(\mathbf X_n(i)\right). $$ Si $(*)$ no está satisfecho, entonces no hay ninguna razón para tener la convergencia de $X_n$$X$: por ejemplo, elegir $d=1$, $\mathbf X=(0,2)$ y considerar la posibilidad de $\mathbf X_{n,1}=(0,1]$ por cada $n$ y cualquier secuencia de más fino y más fino particiones de $(1,2)$.