Expansión decimal de $\frac{1}{p}$ ¿Cuál es su periodo?

Question

Considere la expansión decimal de $\frac{1}{p}$ (donde $p$ es un primo impar).

Dejemos que $F(p)$ sea el período de esta expansión decimal.

Por ejemplo, $F(3) = 1$ (como $\frac{1}{3} = 0.3333$ , que tiene un periodo $1$ )

$F(7) = 6$

$F(11) = 2$

$F(13) = 6$

Consideremos ahora la función $G(x)$ definida como el número de primos diferentes para los que $F(p)=x$ .

Por ejemplo, $G(1) = 1$ . (Sólo hay un primo $(3)$ lo que da lugar a una expansión decimal de periodo $1$ .)

$G(2) = 1$ . (También parece que sólo hay una prima $(11)$ lo que da lugar a una ampliación del periodo $2$ .)

¿Cómo se comporta esta función? ¿Hay algún valor de $x$ para lo cual $G(x) = 0$ . (Es decir, ¿existe un periodo de tiempo que nunca ocurre?)

Answer 1

Para $p\ge 7$ , se necesita la orden de $10$ modulo $p$ el número más pequeño $u>0$ con $10^u\equiv 1\mod p$ . Debido a $10^{p-1}\equiv 1\mod p$ tenemos $u|p-1$ . Entonces, $u$ es la longitud del periodo en la expansión decimal de $\frac{1}{p}$ .

Para encontrar los primos $p$ con una longitud determinada $L$ , sólo hay que factorizar $10^L-1$ . Entonces, para cada primo $q$ dividiendo $L$ eliminar los factores primos de $10^{L/q}-1$ . Entonces, los primos restantes producirán la longitud deseada.

No estoy seguro, pero siempre debería quedar al menos un primo. Tal vez alguien puede aprobar esto y mostrar una prueba , si es el caso.