¿El término general de la secuencia : 1, 1, -1, -1, 1, 1, ...?

Question

Supongamos que tenemos la siguiente secuencia:

{ $a_n$ como:
$a_0 = 1, \\ a_1 = 1, \\ a_2 = -1, \\ a_3 = -1, \\ a_4 = 1, \\ a_5 = 1, \\ ... $

¿Cómo podemos hallar el término general de esta sucesión? He intentado utilizar una función trigonométrica, por ejemplo $\alpha \sin(x+\phi)$ imponemos algunas restricciones a $\alpha$ y $\phi$ para conseguir esa secuencia, pero me pierdo, ¿hay alguna forma inteligente de encontrar el término general?

EDITAR: La pregunta está identificada como duplicada, pero esa respuesta no resuelve la pregunta, porque estoy buscando una solución que no implique la función suelo.

Answer 1

La solución general de la recurrencia $\ a_n=a_{n-4}\ $ es $$a_n=Ai^n+B(-1)^n+C(-i)^n+D$$ donde $A,B,C,D$ son constantes arbitrarias.

La solución particular para sus valores iniciales $\ a_0=a_1=1,\ a_2=a_3=-1\ $ es $$a_n=\frac{(1-i)i^n+(1+i)(-i)^n}2.$$ Utilizar las identidades $i^n=e^{n\pi i/2}=\cos\frac{n\pi}2+i\sin\frac{n\pi}2$ y $(-i)^n=e^{-n\pi i/2}=\cos\frac{n\pi}2-i\sin\frac{n\pi}2$
podemos reescribirlo como $$a_n=\cos\frac{n\pi}2+\sin\frac{n\pi}2.$$

Answer 2

Puede utilizar $\cos(n\pi/2)+\sin(n\pi/2)$ . Veo que esto funciona pensando en el círculo unitario. Una aguja apuntando al Este, Norte, Oeste o Sur siempre contribuye con un $0$ de entre $\cos(n\pi/2),\sin(n\pi/2)$ y también $1$ o $-1$ . Y simplemente funciona.

Las identidades trigonométricas muestran que es igual a $\sqrt{2}\sin(n\pi/2+\pi/4)$

O desde otra perspectiva, $(-1)^{n(n-1)/2}$ . La expresión $n(n-1)$ es siempre par, por lo que siempre es divisible por $2$ . A veces, uno de $n,n-1$ también es divisible por $4$ para que después de dividir por $2$ . En $n$ itera, primero $n$ será divisible por $4$ entonces $n-1$ será divisible por $4$ entonces $n$ sólo será divisible por $2$ entonces $n-1$ sólo será divisible por $2$ . Y luego todo se repite. Así que el exponente en $(-1)$ es par, par, impar, impar, repite.

Answer 3

$$(-1)^{\lfloor{n/2}\rfloor},$$ donde $\lfloor{\cdot}\rfloor$ es la función suelo, o como se pide en el comentario, $$\sqrt{2}\cdot\sin\big((2n+1)\pi/4\big).$$