El campo que es?

Question

Consideremos el anillo de $R=\mathbb{Z}^\mathbb{N}$ de secuencias de enteros con la costumbre de las componentes de las operaciones y deje $I$ a ser el ideal de secuencias que finalmente son cero. Preguntas:

1. Hay un único ideal maximal $\mathfrak m \supseteq I$$R$ ?
2. Es $R/\mathfrak m$ isomorfo a un conocido campo (como $\mathbb{R}, \mathbb{Q}_p$,...) donde $\mathfrak m\supseteq I$ es cualquier ideal maximal ?

Answer 1

No, $m$ está muy lejos de ser único. Tomar cualquier función de $p : \mathbb{N} \to \text{primes}$ y la de no-director de ultrafilter $U$ $\mathbb{N}$ . A continuación, $R$ admite un cociente mapa a$\prod_{i=1}^{\infty} \mathbb{F}_{p(i)}$, lo que a su vez admite un cociente mapa a la correspondiente ultraproduct de los campos $\mathbb{F}_{p(i)}$, que es un campo, y en este mapa (se ve como un mapa con el dominio $R$) contiene $I$ en su núcleo. (Creo que esta construcción se describe todos los posibles $m$ pero no estoy seguro.)

Genéricamente estos campos son pseudo-finito campos y, en particular, cuasi-finito campos. Cuando no son ellos mismos isomorfo a lo finito campos (lo que ocurre si existe alguna prime $p$ tal que $\{ i : p(i) = p \}$ está contenida en el ultrafilter $U$, y, en particular, si $\{ i : p(i) = p \}$ es cofinite), que no están familiarizados.

Answer 2

Relacionado: Si empezamos con $\mathbb{R}$ en lugar de $\mathbb{Z}$, se obtiene el campo de hyperreal números. Aquí la cuestión de si se es independiente hasta el isomorfismo de la máxima ideal / ultrafilter (por supuesto, hay muchos de ellos) es equivalente a la Hipótesis continua.