La pregunta es simple: ¿existen dos polinomios, $P,Q \ \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, de tal manera que $$ \text{deg}(P^3-Q^2) = 1?$$ Uno puede suponer que tanto $P$ $Q$ son monic, y la mayoría de los ingenuamente se podría considerar el caso de que $\text{deg}(P) = 2$$\text{deg}(Q) = 3$. A continuación, la escritura de las expresiones generales, que dependen de $3+2 = 5$ variables en total, se obtiene 4 restricciones a hacer $x^i, i \in \{2,3,4,5\}$ se desvanecen. El resultado interesante de este tedioso ejercicio es que $P^3 = Q^2$ en este caso, por lo que este no da soluciones. Más generalmente, la configuración de $\text{deg}(P) = 2n$ $\text{deg}(Q) = 3n$ algunos $n \in \mathbb{N}$, uno tiene, precisamente, $5n$ variables e $6n-2$ términos matar, por lo que para $n \geq 2$ uno tiene al menos tantas restricciones como variables, $P^3=Q^2$ siempre siendo un conjunto de soluciones. Esto me lleva a pensar que tales polinomios no existen, pero no tengo idea de cómo demostrarlo. ¿Alguien tiene alguna sugerencia?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Es evidente que esto no puede sostener si $P$ o $Q$ son constantes. Supongo que son no constante.
Por el ABC teorema, si había polinomios no constantes $P$, $Q$, y $R$ tal que $R$ es lineal y
$$ P^3 + (-Q^2) = R $$
a continuación, $3 \deg(P) = 2 \deg(Q)$ y tendrías
$$ 3 \deg(P) = \max\{ 3\deg(P), 2 \deg(Q), 1 \} \leq \deg\left( \mathrm{rad}(PQR) \right) - 1 \leq \deg(P) + \deg(Q) $$
Esto implica $\deg(Q) \geq 2 \deg(P)$, y por lo tanto $2\deg(Q) \geq 4 \deg(P)$, es una contradicción!
Por lo tanto, la hipótesis es falsa: es imposible para $P^3 - Q^2$ a ser lineal .
