Cómo probar que $\pi^{e^{\pi^e}}<e^{\pi^{e^{\pi}}}$

Question

Tengo una pregunta: para la prueba de que $\pi^e<e^{\pi}$ (es fácil), y también prueba que $\pi^{e^{\pi}}>e^{{\pi^e}}$ (por contradicción asumen que $\pi^{e^{\pi}}\leq e^{^{\pi^e}}$ y vía natural logaritms obtiene que $e^{\pi}<e^{\pi}\cdot \ln \pi <\pi^e$, una pizca absurdo la desigualdad anterior!)

Sin embargo, la cuestión es que no puedo probar que $\pi^{e^{\pi^e}}<e^{\pi^{e^{\pi}}}$.

¡Cualquier ayuda!

¡Gracias!

Answer 1

Dado el resultado que $\pi^e \lt e^{\pi},$ puede decir $$\pi^{e^{\pi^e}}\lt \pi^{e^{e^\pi}} \lt e^{\pi^{e^\pi}}$ $