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Question

Estoy teniendo un momento muy duro encontrar la anti derivada de esta función:

$$f(x)=\dfrac{1-\tan(x)}{\sqrt{x}+\tan(x)}$$

mientras que el límite inferior es 0 y el límite superior es 1.

He intentado ampliar $\cos(x)$ por lo que se vería como

$$f(x)=\dfrac{\cos(x)-\sin(x)}{\sqrt{x}\cos(x)+\sin(x)}$$

y luego separar linealmente en 2 integrales pero no ayuda mucho en todo. Cualquier ayuda sería apreciada, gracias mucho.

Answer 1

Esta no es una respuesta pero es demasiado largo para un comentario.

Si había "extremadamente difícil a la hora de encontrar la anti-derivada de esta función", ahora somos dos !

No creo que nos podríamos encontrar la antiderivada $$I=\int\frac {1- \tan(x)}{\sqrt{x}+\tan(x)}\,dx$$ incluso mediante el uso de funciones especiales.

Lo que hizo es dejar a $x=y^2$ a de trabajo $$J=\int\frac{2 y \left(1-\tan \left(y^2\right)\right)}{y+\tan \left(y^2\right)}\,dy$$ If you plot the integrand for $0\leq y\leq 1$, you could notice that it is "close" to $2-2y$ and then, over this range, the definite integral should be "close" to $1$ (smaller that $1$ porque o la curvatura de el integrando).

Lo que yo intentaba era para aproximar el integrando buscando $[n,m]$ Padé approximants (en torno $y=0$), que podrían ser viables para la integración. Sin embargo, el problema que se me plantea es que, hasta que $m=4$, acabo de obtener la aproximación lineal se mencionó anteriormente. Para $n=2$, el denominador se anula en el intervalo. Así que, me quedé con el más simple $(n=3,m=4)$ lo que da, como una aproximación, $$\frac{2 y \left(1-\tan \left(y^2\right)\right)}{y+\tan \left(y^2\right)}=\frac {2-2 y^2-\frac{2 }{3}y^3 } {1+y-\frac{1}{3}y^3-\frac{1}{3}y^4 }=6\frac {1- y^2-\frac{1 }{3}y^3 } {(1+y)(3-y^3)}$$ The last expression can be decomposed using partial fraction since,$a,b,c$ being the roots of $y^3=3$, $$\frac{1 - y^2-\frac{1 }{3}y^3 }{(y+1) (y-a) (y-b) (s-c)}=\frac {- ^3-3 a^2+3}{3 (a+1) (a-b) (a-c) (y-a)}+\frac{-b^3-3 b^2+3}{3 (b+1) (b-a) (b-c) (y-b)}+\frac{-c^3-3 c^2+3}{3 (c+1) (c-a) (c-b) (s-c)}-\frac{1}{3 (a+1) (b+1) (c+1) (y+1)}$$ la Integración y la recombinación de todo conduce al "pequeño monstruo" $$\frac{1}{12} \left(3 \left(\log \left(\frac{16}{9}\right)+\sqrt[3]{3} \left(\sqrt[3]{3}-1\right) \log \left(\frac{1}{2} \left(2+3 \sqrt[3]{3}-3\ 3^{2/3}\right)\right)+2 \sqrt[6]{3} \left(3+3^{2/3}\right) \bronceado ^{-1}\left(\frac{2+\sqrt[3]{3}}{3^{5/6}}\right)\right)-\sqrt[6]{3} \left(3+3^{2/3}\right) \pi \right)\aprox 0.922454$$ while a numerical integration would lead to $\aprox {0.929600}$.

No muy fantástico, estoy de acuerdo.

Editar

Sólo por la diversión de hacerlo, he construido el $[2,2]$ Padé approximant alrededor de $y=\sqrt{\frac{\pi }{4}}$ (no voy a escribir el el valor de los coeficientes). Por eso, $J$ puede ser calculado y el resultado es $\approx 0.928856$ (mucho mejor que el anterior).