Esta es una manera de atacar el problema de la inducción. Tenemos que generalizar
la declaración de un poco antes de que podamos llevar a cabo la inducción paso.
Ampliar la definición de $F_n$$F_0 = 0$.
Para cualquier $n > 0$, vamos a $\mathcal{S}_n$ la declaración:
$$\mathcal{S}_n :\quad F_{2n+k} = \sum_{\ell=0}^n \binom{n}{\ell} F_{\ell+k},\;\text{ for all k} \ge 0$$
Cuando $n = 1$, $S_n$ se reduce a $F_{k+2} = F_{k+1} + F_k$ todos los $k \ge 0$. Esto es trivialmente cierto.
Suponga $\mathcal{S}_{n}$ es cierto. Para cualquier $k \ge 0$, tenemos
$$\begin{align}F_{2(n+1)+k} = F_{2n+(k+2)}
&\stackrel{\mathcal{S}_n}{=}
\sum_{\ell=0}^n \binom{n}{\ell} F_{\ell+(k+2)}
= \sum_{\ell=0}^n \binom{n}{\ell} \left( F_{\ell+k+1} + F_{\ell+k}\right)\\
&= \sum_{\ell=1}^{n+1}\binom{n}{\ell-1}F_{\ell+k}
+ \sum_{\ell=0}^n \binom{n}{\ell} F_{\ell+k}\\
&= F_{n+1+k} + F_k + \sum_{\ell=1}^n \left(\binom{n}{\ell-1}+\binom{n}{\ell}\right)F_{\ell+k}
\end{align}
$$
Aviso de $\binom{n+1}{\ell} = \binom{n}{\ell}+\binom{n}{\ell-1}$$1 \le \ell \le n$, esto lleva a la
$$F_{2(n+1)+k} = F_{n+1+k} + F_{k} + \sum_{\ell=1}^n \binom{n+1}{\ell}F_{\ell+k} = \sum_{\ell=0}^{n+1} \binom{n+1}{\ell}F_{\ell+k}$$
Ya que esto es válido para todos los $k$, $\mathcal{S}_{n+1}$ es cierto.
Por el principio de inducción $\mathcal{S}_n$ es cierto para todos los $n$.
En particular, si corregimos $k$$0$, el deseo de identidad de la siguiente manera:
$$F_{2n} = \sum_{\ell=0}^n \binom{n}{\ell}F_{\ell} = \sum_{\ell=1}^n \binom{n}{\ell}F_{\ell}$$
