¿Símbolo para la asignación de un valor de verdad?

Question

Aquí hay una cosa de impar. Allí parece Al hojear mis estantes, no hay ninguna abreviatura simbólica metalingüística estándar que se utilice ampliamente en los libros elementales para asignar un valor de verdad a una frase (por ejemplo, en el cálculo proposicional). Habría esperado que hubiera alguna.

En la primera edición de mi Introducción a la lógica formal (CUP), tomé prestado el símbolo ' $\Rightarrow$ ' para abreviar 'toma el valor ... [en alguna valoración dada]' y escribir los gustos de, por ejemplo

Si $\mathsf{P} \Rightarrow \textrm{T}$ y $\mathsf{Q} \Rightarrow \textrm{F}$ entonces $\mathsf{(P \land Q)} \Rightarrow \textrm{F}$ .

Pero esto, pensándolo bien, era una tontería, dado que el símbolo ' $\Rightarrow$ ' ya está sobrecargado (no en mi libro, sino en otros lugares -- ¡como en math.se! -- donde, para empezar, algunos lo usan para el condicional, otros lo usan en lugar de un torniquete, y algunos se enredan usándolo ambiguamente para ambos). Parece más prudente no aumentar la posible confusión, sobre todo cuando los lectores podrían ver simultáneamente ' $\Rightarrow$ ' que se utiliza en una de estas formas diferentes.

Así que para la próxima segunda edición, tengo la intención de utilizar el \mapsto para la asignación de valores, y escribir en su lugar

Si $\mathsf{P} \mapsto \textrm{T}$ y $\mathsf{Q} \mapsto \textrm{F}$ entonces $\mathsf{(P \land Q)} \mapsto \textrm{F}$ .

(Supongo que los dos puntos podrían ser otra posibilidad, pero preferiría tener algo más distintivo. Y algo como $\textrm{T}(\mathsf{P})$ no es tan bonito/fácil de leer en masa, suele ser parte de un lenguaje de objetos aumentado - y como que se pierde la dinámica de algún tipo de flecha). Pero, ¿me estoy perdiendo un truco aquí? ¿Existe un simbolismo mejor? ¿Algo que ahora se usa más comúnmente/estándar en contextos elementales de lo que me doy cuenta?

[Editado: Debo añadir que el libro es una lógica para bebés-filósofos, por lo que la facilidad de lectura/facilidad de uso en la pizarra superará, por ejemplo, la portabilidad a contextos más sofisticados].

Answer 1

Hay varias maneras de manejar esto.

Una opción es utilizar alguna noción adecuada de equivalencia lógica, para lo cual suelo utilizar $\equiv$ , pero hay muchas otras anotaciones. Así que usted tendría "si $P\equiv\top$ y $Q\equiv \bot$ entonces $P\land Q \equiv \bot$ ". Sin embargo, esto sería más sintáctico de lo que creo que quieres. Esto también oculta la dependencia de algún tipo de contexto, aunque esto podría recuperarse añadiendo un subíndice a $\equiv$ A menos que sólo se trate de tautologías.

Otra es utilizar la relación de satisfacción, por ejemplo, "para una estructura dada $M$ , si $M\vDash P$ y $M\vDash \neg Q$ entonces $M\vDash \neg(P\land Q)$ ". Para la lógica proposicional clásica, esto también puede escribirse "para una estructura dada $M$ , si $M\vDash P$ y $M\not\vDash Q$ entonces $M\not\vDash P\land Q$ ".

Por último, podría hacer explícitamente lo que dice. Me gusta usar $[\![P]\!]$ para interpretar la sintaxis en algún objeto matemático. Esta notación parece bastante común, aunque no es universal. Normalmente, la interpretación es con respecto a alguna estructura/valoración/asignación que se añadirá como decoración, por ejemplo $[\![P]\!]^{\mathcal M}$ . Una notación común alternativa es simplemente $P^{\mathcal M}$ como se utiliza, por ejemplo, en esta página de Wikipedia . Para el contexto de la lógica proposicional clásica, probablemente escribiría $[\![P]\!]_\rho$ donde $\rho$ es una asignación para las variables proposicionales. Su declaración sería entonces: "para cualquier asignación de variable proposicional $\rho$ , si $[\![P]\!]_\rho = 1$ y $[\![Q]\!]_\rho = 0$ entonces $[\![P\land Q]\!]_\rho = 0$ ".

Como última opción, que es más parecida a lo que estás haciendo actualmente, en muchas teorías de tipo/prueba, hay una noción de reducción. Para algunos, en particular los cálculos lambda de tipo simple utilizados para la lógica de orden superior, una fórmula es "verdadera" si y sólo si su forma normal con respecto a esta reducción es $\mathsf{tt}$ uno de los dos valores de tipo booleano. Entonces se podría decir "si $P\leadsto\mathsf{tt}$ y $Q\leadsto\mathsf{ff}$ entonces $P\land Q \leadsto \mathsf{ff}$ ", aunque, de nuevo, esto sólo sería cierto para las tautologías. Sin embargo, en una lógica de orden superior, se pueden representar fácilmente variables de proposición como parámetros, por lo que esto no es un problema. Nótese que estos conceptos y esta notación serían inusuales en un contexto de lógica tradicional.

Mi recomendación es utilizar el tercer enfoque, el $[\![-]\!]$ paréntesis o una variación de esa idea al menos.