Multiplicar números primos

Question

Si multiplico $13$ y $17$ para conseguir $221$ Sólo puedo conseguir $221$ multiplicando $13$ y $17$ (excluyendo $1$ y $221$ ) ¿se aplica la misma regla para multiplicar $3$ ¿números? (excluyendo el uso de $1$ )

Answer 1

Si te refieres a multiplicar 3 números primos, entonces sí hay una sola manera (esto se conoce como el teorema fundamental de la aritmética ).

Por ejemplo $715=5\cdot 11\cdot 13$ y sólo estos tres primos lo producirán (si se excluye $715=(-5)\cdot (-11)\cdot 13$ y así sucesivamente)

Answer 2

Toma cualquier número compuesto (número no primo) $n$ donde $1 < n < k$ tal que $$n = \prod_{i=1}^k \alpha_i$$ para lo cual $\alpha_i$ es un número primo. Como $\alpha_i$ es primo, se deduce que $$\exists!\{1, \alpha_i\}\mid \alpha_i$$ Por lo tanto, al dejar que $N^* = \{$ números más pequeños $> 1$ que dividen $n$$\}$, the only elements of $ N^* $ will be $\alpha_1 , \alpha_2 , \ldots , \alpha_k$. This means that if you multiply any $ 3 $ numbers to produce a number $ n$, estos tres números serán los sólo números para dividir $n$ con la condición de que estos tres números sean prime ya que no existirá ningún número más pequeño que cada uno de estos tres números que divida a $n$ aparte de $1$ . Esta afirmación produce el hecho de que todo número compuesto $n$ tiene una única factorización prima (o descomposición) a diferencia de cualquier otro número compuesto, que se describe como El teorema fundamental de la aritmética junto con la forma en que $0$ y $1$ no son ni primos ni compuestos. Esto también se deriva de las proposiciones hechas por Euclides en su Elementos, Libro VII-IX .

Dejemos que $f(X)$ sea una función que describa el número cardinal de un conjunto dado $X$ entonces $f(N^*) \in (0, \infty)$ tal que $f(N^*) = 1$ implica que $n$ es un número primo y $\alpha_1 = n$ . La función cardinal se suele denotar como $n(X)$ pero como ya tenemos un valor $n$ , dejo que esta función cardinal sea $f$ para evitar confusiones. También existen notaciones similares para expresar $f(N^*)$ como $\text{card}(N^*)$ y etc, pero eso es irrelevante para el tema.

Answer 3

Así que tienes dos primos positivos distintos, llamémoslos $p$ y $q$ . Entonces su producto tiene precisamente cuatro divisores entre los enteros positivos: 1, $p$ , $q$ y $pq$ y verificamos que $1 \times pq = pq$ .

En su ejemplo con $p = 13$ y $q = 17$ (o $p = 17$ y $q = 13$ si lo prefiere), comprobamos que $1 \times 221 = 13 \times 17$ .

¿Y si lanzamos un tercer primo positivo distinto? $r$ ¿en la mezcla? Entonces $pqr$ tiene ocho divisores: 1, $p$ , $q$ , $r$ , $pq$ , $pr$ , $qr$ y $pqr$ sí mismo.

Para ampliar el ejemplo anterior, digamos que $r = 29$ . Entonces vemos que 6409 se puede expresar como producto de dos enteros positivos de cuatro maneras diferentes: $$1 \times 6409 = 13 \times 493 = 17 \times 377 = 29 \times 221$$ Pero ninguna de esas formas consta de dos primos, porque el número es el producto de tres primos.