¿Cuál es la diferencia absoluta esperada entre la media de la muestra y la de la población?

Question

Introducción

Una media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional. En otras palabras, la diferencia esperada entre la media de la población y la media de la muestra es cero, independientemente de la distribución de la población. En otras palabras $E[\bar x - x_p]=0$ , donde $\bar x$ y $x_p$ son la media de la muestra y de la población, respectivamente.

Pregunta

Dado que la población se distribuye normalmente con varianza $\sigma^2$ y conociendo el tamaño de la muestra $n$ ¿Cuál es la expectativa? diferencia absoluta entre la media de la población y la media de la muestra?

o en forma matemática:

$$E[\space| \bar x - x_p |\space] = \space ?$$

Las líneas verticales significan "valor absoluto"

Answer 1

Esta es una adición a la respuesta de @Aksakal. Como él señala, tenemos que encontrar el valor de $E|Y|]$ donde $Y \sim \mathcal N(0,\sigma^2/n)$ . Este puede hacerse de forma muy directa a través de la ley del inconsciente estadístico, sin necesidad de pensar en $\chi$ variables aleatorias, etc. Tenemos \begin{align} E[|Y|] &= \int_{-\infty}^\infty |y|\cdot\frac{1}{(\sigma/\sqrt{n})\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{y^2}{2\sigma^2/n}\right)\,\mathrm dy\\ &= 2\int_{0}^\infty y\cdot\frac{1}{(\sigma/\sqrt{n})\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{y^2}{2\sigma^2/n}\right)\,\mathrm dy\\ &= \sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\int_{0}^\infty \frac{y}{\sigma^2/n}\cdot \exp\left(-\frac{y^2}{2\sigma^2/n}\right)\,\mathrm dy\\ &= \sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}~\left[-\exp\left(-\frac{y^2}{2\sigma^2/n}\right)\right|_0^\infty\\ &= \sqrt{\frac{2}{n\pi}}\cdot\sigma \end{align}

Answer 2

La media de la muestra va a ser normal ya que la distribución subyacente es normal. La distribución de una media muestral es $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2/n)$ .

Entonces es fácil calcular la expectativa de la desviación absoluta:

$$\bar x-\mu\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2/n)$$

Todo lo que necesitas es la expectativa del valor absoluto de una normal. Una distribución del valor absoluto de una distribución normal se llama " plegado normal ". En nuestro caso la normal subyacente (de la desviación de la población) tiene media cero, por lo que se reduce a una $\chi$ distribución con grados de libertad 1. Puedes encontrar las fórmulas en cualquier lugar: $$\sigma\sqrt{\frac{2}{n\pi}}$$

Answer 3

Consideremos una variable aleatoria normal $Y$ con la media $\mu$ y la varianza $\tau^2$ y que $Z=\frac{Y-\mu}{\tau}$ (así $Z$ es el estándar normal).

$$\:\:E(|Z|)=2\int_0^\infty z\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz$$

$\quad$ Dejemos que $u=\frac{z^2}{2}$ Así que $du=z \,dz$ .

$$\qquad=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty e^{-u} du$$

$$=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\qquad\quad$$

Por lo tanto, $E(|Y-\mu|)=\tau E(|Z|)=\tau\sqrt{\frac{2}{\pi}}$ .

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Dejemos que $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ . Sea $Y=\bar{X}$ . Entonces $\tau=\sigma/\sqrt{n}$ .

Por lo tanto, $E(|\bar{X}-\mu|)=E(|Y-\mu|)=\tau\sqrt{\frac{2}{\pi}}=\sigma\sqrt{\frac{2}{n\pi}}\quad$ ( $\approx 0.8 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ )