Cómo probar esta desigualdades $x_{1}\le x_{2}\le \cdots\le x_{n}$

Question

Que $x_{i}$, $i=1,2,\cdots,n$, ser números reales tales que para el $n\geq 2$ % $ $$x_{1}\le x_{2}\le\cdots\le x_{n}.$

Demostrar que %#% $ #%

Mi idea:

Tenga en cuenta $$\dfrac{n(n-1)}{2}\sum_{1\le i<j\le n}x_{i}x_{j}\ge\left(\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)x_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n-1}ix_{i+1}\right).$ $ y sea $$\sum_{1\le i<j\le n}x_{i}x_{j}=\sum_{i=1}^{n-1}x_{i}(x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{n})$ $

Entonces $$y_{i}=x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{n}.$ $

después no puedo tener trabajo.

Este problema es de mis amigos.

Gracias

Answer 1

Utilice el método de inducción matemática. La desigualdad se mantenga por $n=2$. Supongamos que tiene $n$, entonces $n+1$ tenemos $$\begin{aligned} LHS_{n+1}&=\frac{n(n+1)}{2}\sum_{1\leq i<j\leq n+1}x_ix_j=\frac{n(n+1)}{2}\left(\sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j+x_{n+1}\sum_{i=1}^nx_i\right)\\ &=(1+\frac{2}{n-1})LHS_n+\frac{n(n+1)}{2}x_{n+1}\sum_{i=1}^nx_i \end{alineado} $ y $$\begin{aligned} RHS_{n+1}&=\left(\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)x_i+\sum_{i=1}^nx_i\right)\left(\sum_{i=1}^{n-1}jx_{j+1}+nx_{n+1}\right)\\ &=RHS_n+nx_{n+1}\sum_{i=1}^n(n+1-i)x_i+\sum_{i=1}^nx_i\sum_{j=1}^{n-1}jx_{j+1}. \end{alineado} $$ entonces sigue que es $$\begin{aligned} LHS_{n+1}-RHS_{n+1}\geq& nx_{n+1}\left(\frac{n+1}{2}\sum_{i=1}^nx_i-\sum_{i=1}^n(n+1-i)x_i\right)\\&+\frac{2}{n-1}RHS_n-\sum_{i=1}^nx_i\sum_{j=1}^{n-1}jx_{j+1}\\ \text{(substitute %#%#%)}=&nx_{n+1}\left(\frac{n-1}{2}\sum_{i=1}^nx_i-\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)x_i\right)\\ &-\sum_{j=1}^{n-1}jx_{j+1}\left(\sum_{i=1}^nx_i-\frac{2}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)x_i\right)\\ =&\left(nx_{n+1}-\frac{2}{n-1}\sum_{j=1}^{n-1}jx_{j+1}\right)\left(\frac{n-1}{2}\sum_{i=1}^nx_i-\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)x_i\right)\\ \stackrel{def}=& A_nB_n \end{alineado} $$ $RHS_n$ $A_n\geq0$, $x_{n+1}\geq x_j$ y $j=1,\dots,n$ puede derivarse de inducción matemática otra vez (que es simple). Esto implica $B_n\geq 0$.