¿Cómo se relaciona esta integral con la proporción áurea?

Question

Me encontré con un interesante integral y me pregunto cómo en el mundo puede referirse a la Proporción áurea, $\frac{1}{\phi}$.

El problema dice que la solución debe incluir la Proporción áurea, $\frac{1}{\phi}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

$\int\limits_{-\infty}^{0}n^{x}(n+1)^{x}dx$

He evaluado es lo suficientemente fácil de usar las partes. Llegué a

$\frac{1}{ln(n^{2}+n)}$.

Pero, se me escapa es cómo esto puede ser escrita en términos de la citada Proporción áurea.

He encontrado algo en las Excursiones en el Cálculo por Robert Young que se refiere a una espiral logarítmica a la Proporción áurea, pero me parece bastante dudoso.

$\frac{1}{ln(\beta)}=\frac{\pi}{2ln(\phi)}$

La sustitución de la beta con $n^{2}+n$ y resolviendo para n da una solución, pero tengo la duda si es correcto.

Me doy cuenta de que n y n+1 podría estar de alguna manera relacionado con la secuencia de Fibonacci?.

Todos los pensamientos son apreciados. Gracias

Answer 1

Ustedes tienen una expresión de la integral, que es $I(n) = 1/\log n(n+1)$. Una buena cosa a comprobar es si esta integral es finito o no. Cuando no sería finito? Precisamente cuando el denominador es cero, o cuando

$$\log n(n+1) = 0$$

que se produce cuando

$$n(n+1) = 1 \quad \Rightarrow\quad n^2 + n - 1 = 0$$

La sustitución de $n\to 1/m$ da la ecuación

$$m^2 - m - 1 = 0$$

que tiene la conocida solución positiva $m=1.618\dots$, la proporción áurea.

Por lo $n=1/\phi$ es el número mágico (la "salsa secreta" como GEdgar) lo que significa que la integral no es finito!

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Adenda.

Podemos han dado cuenta de esto desde el principio? Sí. Aviso de que su integral puede escribirse

$$\int_{-\infty}^0 [n(n+1)]^x dx$$

que es todo lo fino y elegante, mientras $n(n+1) > 1$. Si estás en el límite, $n(n+1)=1$, entonces usted está integrando

$$\int_{-\infty}^0 dx$$

lo que es claramente infinito.