Para cada fórmula $\varphi$ podemos echar un vistazo a los siguientes dos propiedades:
$$1) ZFC \not \vdash Con (ZFC) \rightarrow Con (ZFC + \varphi)$$
$$2) ZFC + \varphi \not \vdash Con (ZFC)$$
Intuitivamente, 1) implica que $\varphi$ no está "cerca" de ZFC, mientras que el 2) dice que el $\varphi$ no está "lejos" de ZFC.
Si asumimos que ZFC + $\varphi$ es consistente, entonces es imposible que 1) y 2) no (de lo contrario teníamos $ZFC + \varphi \vdash Con(ZFC + \varphi)$, lo que sería una contradicción a Gödel del segundo teorema de la incompletitud). Por lo tanto, si ZFC + $\varphi$ es consistente, al menos, 1) o 2) se mantiene. Suponiendo que ZFC es consistente, es posible encontrar un adecuado $\varphi$ tal de que exactamente uno de ellos se tiene: Si $\varphi$ es la fórmula "Existe un cardinal inaccesible", entonces 1) titular y 2) no tiene. Mediante el establecimiento $\varphi = CH$, tenemos que 2) mantiene y 1) no tiene. Es posible que tanto 1) y 2)?
Respuesta
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Sí, aunque no naturales ejemplos son conocidos a lo mejor de mi conocimiento, y de hecho la más sencilla prueba que sé es no constructiva:
Supongamos que no hubo tal $\varphi$ - esto es, para cualquier $\varphi$ exactamente una de las dos posibilidades que tiene. Cada posibilidad es universal - el conjunto de $\varphi$ sin propiedad $1$ es computably enumerable, y lo mismo para el conjunto de la $\varphi$ sin propiedad $2$. Dado que, en nuestra hipótesis, la propiedad $1$ y la propiedad $2$ son las negaciones de cada uno de los otros, esto significa que cada uno de estos conjuntos es, de hecho, computables.
Pero es fácil demostrar que el conjunto de oraciones de satisfacciones $2$ es no-computable. Para suponer lo contrario. Entonces podemos crear una computable coherente teoría completa la ampliación de ZFC, que contradice el teorema de Gödel, de la siguiente manera:
Fijar una computable listado de $\{\theta_e:e\in\mathbb{N}\}$ de los de primer orden de las frases en el lenguaje de ZFC.
Ahora podemos definir una nueva secuencia de sentencias $\chi_e$$e\in\omega$, como sigue:
$\chi_0=\theta_0$ si ZFC+$\theta_0\not\vdash$ Con(ZFC), y $\chi_0=\neg\theta_0$ lo contrario.
Después de haber definido $\chi_0, ..., \chi_n$, dejamos $\chi_{n+1}$ $\theta_{n+1}$ si ZFC+$(\chi_0\wedge...\wedge\chi_n)\wedge\theta_{n+1}\not\vdash$Con(ZFC), y $\neg\theta_{n+1}$ lo contrario.
Deje $T=$ ZFC $\cup$ $\{\chi_i:i\in\mathbb{N}\}$. $T$ es completa y consistente (en particular, mediante la inducción no prueba Con(ZFC)) - y ya por supuesto que podemos computably comprobar si una frase, junto con ZFC, prueba Con(ZFC) sabemos que $T$ es computable. Contradicción.
¿Qué acerca de la propiedad $1$? Esto parece mucho más difícil:
En primer lugar, necesitamos un adicional leve-pero-no-trivial suposición acerca de ZFC para hacer que la propiedad $1$ trivial: posiblemente ZFC podría ser consistente y probar su propia inconsistencia, en cuyo caso cada frase tiene la propiedad $1$. Así que tenemos (algunos de forma débil de) la suposición de que ZFC es el sonido.
Incluso con esa suposición, sin embargo, el inductivo idea de arriba no parecen aplicarse aquí fácilmente: si bien es cierto que (en virtud de nuestra solidez de la asunción) $\varphi$ propiedad $1$ si es incompatible con ZFC, es posible que ni los $\varphi$ ni $\neg\varphi$ tienen la propiedad $1$, por lo que no podemos usar la propiedad $1$ para detectar inconsistencia.
Así, mientras que sospecho que el conjunto de sentencias de la satisfacción de la propiedad $1$ es no-computable, yo no ver de inmediato cómo demostrarlo, y que sin duda parece conceptualmente más difícil.
