Necesita ayuda con differentitation logarítmica

Question

Tengo la expresión

$$y = \sqrt{x^2(x+1)(x+2)}.$$

He intentado mirar videos pero todavía no puede llegar a la respuesta correcta y no saben cómo llegar.

Por cierto, la respuesta correcta es

$$y' = \frac{4x^2+9x+4}{2\sqrt{(x+1)(x+2)}}.$$

Por favor, ayuda.

Answer 1

$$y = \sqrt{x^2 (x+1)(x+2)}$$

$$\ln{y} = \ln{x} + \frac12 \ln{(x+1)} + \frac12 \ln{(x+2)}$$

$$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \frac12 \frac{1}{x+1} + \frac12 \frac{1}{x+2}$$

$$y' = x \sqrt{(x+1)(x+2)} \left ( \frac{1}{x} + \frac12 \frac{1}{x+1} + \frac12 \frac{1}{x+2}\right) = x \sqrt{(x+1) (x+2)} \left ( \frac{4 x^2+9 x+4}{2 x(x+1)(x+2)}\right)$$

que creo que funciona para tu respuesta.

Answer 2

Alternativamente, escriba $$y^2=x^2(x+1)(x+2)$ $

Entonces $$2yy'=2x(x+1)(x+2)+x^2(x+1)+x^2(x+2)$ $ donde

$$y'=\frac{2x(x+1)(x+2)+x^2(x+1)+x^2(x+2)}{2x\sqrt{(x+1)(x+2)}}$$

$$y'=\frac{2(x+1)(x+2)+x(x+1)+x(x+2)}{2\sqrt{(x+1)(x+2)}}\\=\frac{4x^2+9x+4}{2\sqrt{(x+1)(x+2)}}$$

Suponiendo que quería $x\sqrt{(x+1)(x+2)}$ desde $\sqrt{x^2}=|x|$ y haz algo que lindo con eso.

Answer 3

¿No es mucho más sencillo el siguiente? $$y = \sqrt{x^4+3x^3+2x^2}$ $ $$y' = \frac{4x^3+9x^2+4x}{2x\sqrt{(x+1)(x+2)}}$$ and cancelling out the $$ %x de ambos términos da el resultado deseado.