¿Cómo puedo calcular el siguiente límite? $$\lim_{\alpha \rightarrow\infty} \alpha^{1\over 3}\int_0^1e^{i\alpha t^3}\ln(t+2)dt.$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Volodymyr Frolov
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La expansión de $\ln (t+2)$ por la serie en $t=0$:
$$\sqrt[3]{\alpha } e^{i \alpha t^3} \left(+...-\frac{t^2}{8}+\frac{t}{2}+\ln (2)\right)$$
La integración término a término: $$+...\frac{e^{i \alpha }}{24 \alpha ^{2/3}}-\frac{i}{24 \alpha ^{2/3}}+\frac{i \sqrt[3]{-i \alpha } \Gamma \left(\frac{2}{3}\right)}{6 \alpha ^{2/3}}-\frac{i \sqrt[3]{-i \alpha } \Gamma \left(\frac{2}{3}-\alpha \right)}{6 \alpha ^{2/3}}+\frac{i (-i \alpha )^{2/3} \ln (2) \Gamma \left(\frac{4}{3}\right)}{\alpha ^{2/3}}-\frac{i (-i \alpha )^{2/3} \ln (2) \Gamma \left(\frac{1}{3}-\alpha \right)}{3 \alpha ^{2/3}}$$ Calcular el límite:
$$+...\underbrace{\frac{e^{i \alpha }}{24 \alpha ^{2/3}}}_{0}-\underbrace{\frac{i}{24 \alpha ^{2/3}}}_{0}+\underbrace{\frac{i \sqrt[3]{-i \alpha } \Gamma \left(\frac{2}{3}\right)}{6 \alpha ^{2/3}}}_{0}-\underbrace{\frac{i \sqrt[3]{-i \alpha } \Gamma \left(\frac{2}{3}-\alpha \right)}{6 \alpha ^{2/3}}}_{0}+\underbrace{\frac{i (-i \alpha )^{2/3} \ln (2) \Gamma \left(\frac{4}{3}\right)}{\alpha ^{2/3}}}_{\sqrt[6]{-1} \ln (2) \Gamma \left(\frac{4}{3}\right)}-\underbrace{\frac{i (-i \alpha )^{2/3} \ln (2) \Gamma \left(\frac{1}{3},-i \alpha \right)}{3 \alpha ^{2/3}}}_{0}$$ Y la respuesta es:
$$\color{color púrpura}{\underset{\alpha \to \infty }{\text{lim}}\sqrt[3]{\alpha } \int_0^1 \exp \left(i \alpha t^3\right) \ln (t+2) \, dt=\sqrt[6]{-1} \Gamma \left(\frac{4}{3}\right) \ln (2)\aprox} \color{red}{0.53604\, +0.309483 i}$$
