Buena pregunta. Usted ha hablado de matemáticos de la filosofía, y que son probablemente más familiarizados con esta línea de pensamiento que son conscientes de.
Tome la geometría Euclidiana, por ejemplo, antes de Euclides de Elementos, personas que habían conocido a la geometría de miles de años. En primer lugar, era un manojo de reglas de pulgares; a continuación, algunos astutos Griegos reemplazado reglas de pulgares con teoremas, por ejemplo, el Teorema de Pitágoras, que eran más generales y más precisa; a continuación, algunos de los otros Griegos descubrieron que algunos de los teoremas que se puede deducir de otros teoremas; más tarde, algunos más inteligente Griegos deducir la totalidad de conocidos teoremas a partir de un pequeño número de postulados. Conforme pasó el tiempo, el número de postulados necesarios para la fundación de la geometría se convirtió en más y más pequeño; por último, Euclides se establecieron cinco. Tenga en cuenta que el Teorema de Pitágoras había conocido mucho antes de que la Geometría de Euclides nació.
Para qué hizo la gente inventar un cálculo? Algunos filósofos especulado que las matemáticas pueden ser fundada en un pequeño número de postulados como la geometría de Euclides se basa en un pequeño número de postulados. Fue una búsqueda épica para los fundamentos de las matemáticas que conducen a los diferentes sistemas de deducción.
Por lo que significa que alguien puede inventar un cálculo? Se trata de dos tareas: la especulación y la deducción. Su punto de partida es una colección de los más conocidos teoremas, cada uno de los cuales ya ha alcanzado el mayor grado de auto-evidencia, por ejemplo, el Teorema de Pitágoras para Euclides o, en Whitehead y Russell caso de la aritmética. Primero Que especulan algunos postulados - esta es la parte filosófica de la obra, y se necesita un genio para especular a la derecha; a continuación, intenta deducir, a partir de sus postulados a todos los conocidos teoremas tiene - esta es la matemática o de la parte mecánica, y en esta parte del trabajo se llama un trabajo honrado, evocando los axiomas sobre la marcha cuando la deducción está llevando a ningún lugar es considerado deshonesto en esta comunidad, lo que explica por qué Russell estaba dispuesto a dar seria consideración a las críticas sobre su Axioma de Reducibilidad en la segunda edición.
Este proceso es similar a disparar con un unzeroed rifle: La ubicación de su objetivo es auto-evidente; su elección de una vista de la imagen se basa principalmente en el intestino de los sentimientos, luego de colocar su primera ronda en las cercanías de su destino, a continuación, mediante la observación de la tierra que la bala patadas, usted obtener algunas ideas sobre la relación entre la vista de la imagen y donde la bala golpea, a continuación, ajuste su imagen de mira y disparar de nuevo:
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Huelga decir que, a mitad de camino a través de la deducción, sus puntos de vista crecer, y llegar con mejor postula, en consecuencia, una nueva ronda de la deducción empieza. Después de la condesa ciclos de especular, luego de deducir, de los pros y los contras de cada postulado se conoce a usted por el corazón, y que son capaces de defender su elección de postulados - esto puede tardar décadas; por último, si tienes suerte, te sientes satisfecho con un determinado conjunto de postulados, a continuación, un nuevo sistema deductivo es nacido. Tenga en cuenta que no "círculo cultural" o de la revisión de pares es necesario que en este proceso; puede strand a ti mismo en algún lugar solitario, pero puede ser, no obstante, a la derecha.
Paradojas hizo pasar, especialmente cuando el éxito parecía tan cerca. Algunos filósofos terminó en la casa de la tuerca; algunos otros murieron creyendo que el trabajo de su vida era inútil; un par de afortunados fueron capaces de llamar a un trabajo, pero seguía descontento porque creían que podían haber hecho mejor si llegaron algunos más energía a la izquierda.
La siguiente es la cita del prólogo de Whitehead y Russell Principia Mathematica 1ª edición:
En la construcción de un sistema deductivo como el que figura en el presente trabajo, hay dos enfrente de las tareas que realiza simultáneamente. Por un lado, hemos de analizar las matemáticas, con miras a descubrir lo que los locales están ocupados, si estas premisas son mutuamente consistentes, si son capaces de reducción para más premisas fundamentales. Por otro lado, cuando nos decidimos en nuestras instalaciones, tenemos que construir de nuevo tanto como puede parecer necesario de los datos anteriormente analizados, y como muchas consecuencias de nuestras instalaciones como son de suficiente interés general para merecer la declaración. El anteproyecto de trabajo de análisis no aparece en el final de la presentación, que simplemente expone el resultado del análisis en ciertos indefinido ideas y demostrada proposiciones. No se reclama que el análisis no se podrían haber llevado más lejos: tenemos ninguna razón para suponer que es imposible encontrar ideas más simples y los axiomas por medio de la cual aquellas con las que empezamos podría ser definido y demostrado. Todo lo que se afirma es que las ideas y los axiomas con los que partimos son suficientes, no que sean necesarias.
Whitehead Y Russell. Principia Mathematica. Comerciante De Libros, 1910. Prefacio. vi. La impresión.
Observe que W & R hablar de datos exactamente en el mismo sentido de lo que hacen los científicos: como los puntos tabulados en un experimento de ciencia, los datos son considerados como los de más alto grado de auto-evidencia; si una teoría no contradice los puntos, se considera válido. Esta línea de razonamiento se llama razonamiento inductivo - uso particular para justificar la general. En W & R Principales mathematica, la aritmética es considerado como de datos.
De vuelta al rifle de analogía: la elección de los postulados es la vista de la imagen - esto es totalmente un trabajo de la conjetura, la especulación racional como un filósofo de renombre llamado; los datos a su destino. Falta el objetivo invalida sus postulados, pero no pone en peligro la credibilidad de los datos; ser capaz de golpear el objetivo único de dar credibilidad a la vista de la imagen o de los postulados, pero no aumenta la credibilidad de los datos, que ya es evidente. Muchas personas no entienden esto y se preguntó por qué W & R fue a través de todos esos problemas sólo para demostrar $1 + 1 = 2$. Como la siguiente cita de PM explica:
En matemáticas, el mayor grado de auto-evidencia es generalmente no se encuentran bastante al principio, pero en algún momento posterior; de ahí que las primeras deducciones, hasta llegar a este punto, dar razones, en lugar de creer en las instalaciones, porque la verdadera consecuencias que se derivan de ellos, que para creer en las consecuencias, porque se sigue de las premisas.
Whitehead Y Russell. Principia Mathematica. Comerciante De Libros, 1910. Prefacio. v. Impresión.
