Aclaración de inversión de Möbius

Question

Soy docente mi inversión de Möbius.

De Wikipedia aparece si $F$ y $G$ son complejo entonces

$G(x)=\sum\limits_{1 \le n \le x} F(x/n)$

implica

$F(x)=\sum\limits_{1 \le n \le x} \mu(n) G(x/n)$

¿Me preguntaba si la implicación trabaja la otra manera alrededor? ¿Es decir, podemos reemplazar la "implica" con "FIB"? ¿Si no hay ninguna simple contraejemplos?

Answer 1

Sí, es una cláusula de foro.

De hecho, uno puede decir algo más fuerte:

Si $\alpha(n)$ es totalmente multiplicative, entonces tenemos
$$ G(x) = \sum_{n \leq x} \alpha(n)F\left(\frac{x}{n}\right) \iff F(x) = \sum_{n \leq x} \mu(n)\alpha(n)G\left( \frac{x}{n}\right)$$

Esta es la declaración más fuerte que conocemos y es probado teniendo en cuenta las circunvoluciones y Dirichlet inversos. (Por ejemplo, creo que está probado en introducción de Apostol a la teoría analítica del número)