Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir ambos.
Los eventos independientes son eventos donde el conocimiento de la probabilidad de uno no cambia la probabilidad del otro.
¿Están correctas estas definiciones? Si es posible, por favor dar más de un ejemplo y contraejemplo.
Sí, está bien.
Los eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de un evento excluye la ocurrencia de los otros. Los eventos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismo tiempo. Por ejemplo: al lanzar una moneda, el resultado puede ser cara o cruz pero no puede ser ambas.
$$\left.\begin{align}P(A\cap B) &= 0 \\ P(A\cup B) &= P(A)+P(B)\\ P(A\mid B)&= 0 \\ P(A\mid \neg B) &= \frac{P(A)}{1-P(B)}\end{align}\right\}\text{ mutuamente excluyentes }A,B$$
Los eventos son independientes si la ocurrencia de un evento no influye (y no es influenciada por) la ocurrencia de los otros. Por ejemplo: al lanzar dos monedas, el resultado de un lanzamiento no afecta el resultado del otro.
$$\left.\begin{align}P(A\cap B) &= P(A)P(B) \\ P(A\cup B) &= P(A)+P(B)-P(A)P(B)\\ P(A\mid B)&=P(A) \\ P(A\mid \neg B) &= P(A)\end{align}\right\}\text{ independientes }A,B$$
Esto significa que los eventos mutuamente excluyentes no son independientes, y los eventos independientes no pueden ser mutuamente excluyentes. (Eventos de medida cero exceptuados.)
¿Puedo obtener un ejemplo de la vida real para entenderlo mejor? Echa un vistazo, he editado la pregunta y la he hecho más clara.
¿Existe alguna conexión entre eventos independientes y eventos mutuamente excluyentes? Quería preguntar "Si $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes, ¿qué se puede comentar sobre la independencia de $A$ y $B, o viceversa?" ¿O no hay ninguna conexión en absoluto? Supongo que no la hay. Pero solo quiero confirmar.
Después de leer las respuestas anteriores, aún no podía entender claramente la diferencia entre eventos mutuamente exclusivos e independientes. Encontré una buena respuesta del Dr. Pete publicada en foro de matemáticas. Así que la adjunto aquí para que el autor original y muchos otros confundidos como yo puedan ahorrar algo de su tiempo.
Si dos eventos A y B son independientes, un ejemplo de la vida real es el siguiente. Considera una moneda justa y un dado de seis caras justo. Sea el evento A obtener cara, y el evento B lanzar un 6. Entonces podemos asumir razonablemente que los eventos A y B son independientes, porque el resultado de uno no afecta el resultado del otro. La probabilidad de que ocurran tanto A como B es
P(A y B) = P(A)P(B) = (1/2)(1/6) = 1/12.
Un ejemplo de un evento mutuamente excluyente es el siguiente. Considera un dado justo de seis caras como antes, solo que además de los números del 1 al 6 en cada cara, tenemos la propiedad de que las caras con números pares están coloreadas de rojo, y las caras con números impares están coloreadas de verde. Sea el evento A lanzar una cara verde, y el evento B lanzar un 6. Entonces
P(B) = 1/6
P(A) = 1/2
como en nuestro ejemplo anterior. Pero es obvio que los eventos A y B no pueden ocurrir simultáneamente, ya que lanzar un 6 significa que la cara es roja, y lanzar una cara verde significa que el número que se muestra es impar. Por lo tanto
P(A y B) = 0.
Por lo tanto, vemos que un par mutuamente excluyente de eventos no triviales también son necesariamente eventos dependientes. Esto tiene sentido porque si A y B son mutuamente exclusivos, entonces si ocurre A, entonces B no puede ocurrir; y viceversa. Esto contrasta con decir que el resultado de A no afecta el resultado de B, que es la independencia de los eventos.
Evento mutuamente exclusivo :- dos eventos son mutuamente excluyentes cuando no pueden ocurrir al mismo tiempo. Por ejemplo, si lanzamos una moneda, solo puede mostrar cara O cruz, no ambas.
Evento independiente :- la ocurrencia de un evento no afecta la ocurrencia de los otros. Por ejemplo, si lanzamos una moneda dos veces, la primera vez puede mostrar cara, pero esto no garantiza que la próxima vez que lancemos la moneda el resultado también será cara. A partir de este ejemplo, podemos ver que el primer evento no afecta la ocurrencia del próximo evento.
Tu caracterización de independencia de eventos quizás se puede ajustar: al lanzar una moneda dos veces, los eventos $\{HH,HT\}$ y $\{HT,TH\}$ son independientes, sin embargo, si ocurre el primer evento, el segundo evento ya no puede ocurrir a través del resultado $TH$ por lo que su "ocurrencia" se ve afectada en cierto sentido.
Esta caracterización de independencia de eventos tal vez debería ser ajustada: al lanzar una moneda dos veces, los eventos {HH,HT} y {HT,TH} son independientes, sin embargo, si ocurre el primer evento, el segundo evento ya no puede ocurrir a través del resultado TH por lo que su "ocurrencia" se ve afectada en cierto sentido. Escribí más en mi Respuesta recién publicada.
Si lanzo una moneda dos veces, el resultado del primer lanzamiento y el segundo lanzamiento son independientes.
Sin embargo, el evento de obtener dos caras es mutuamente excluyente al evento de obtener dos cruces.
Supongamos que dos eventos tienen una probabilidad no nula de ocurrir.
Entonces, si los dos eventos son mutuamente excluyentes, no pueden ser independientes.
Si dos eventos son independientes, no pueden ser mutuamente excluyentes.
@copper.hat Entonces podemos decir que si dos eventos son mutuamente excluyentes, entonces son dependientes, pero si no son mutuamente excluyentes, pueden ser dependientes o independientes, ¿verdad?
Piensa simple, para eventos independientes tenemos dos eventos (dos eventos diferentes como lanzar una moneda y tirar un disco, lanzar dos monedas). Por lo tanto, la probabilidad de que ocurra uno no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. En el caso de eventos mutuamente excluyentes también tenemos dos eventos (pueden ser más de dos) pero la diferencia es que los eventos se derivan de los mismos eventos (lanzar dados con número par de color rojo y número impar de color verde. Aquí ambos eventos provienen del mismo dado y no de dos).
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Son, en cierto sentido, características completamente opuestas. Si $A$ y $B$ son independientes, el conocimiento de que ocurrió $A$ no cambia las probabilidades de que $B$ haya ocurrido. En cambio, si $A$ y $B$ son disjuntos, el conocimiento de que ocurrió $A$ cambia completamente las probabilidades de que $B$ haya ocurrido al colapsarlas a $0$.
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Acabo de notar que las definiciones en esta pregunta parecen haber sido tomadas de mi respuesta aquí. (No es que me importe o algo así.)
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Considere tomar una carta de una baraja de $52$ cartas de juego. $S$: La carta es un pica. $A$: La carta es un as. Los dos eventos no son mutuamente excluyentes ya que existe un As de Picas. $P(A) = \frac{4}{52}$ y $P(S) = \frac{1}{4}$. y $P(A\cap S) = \frac{1}{52} = \frac{4}{52} \frac{1}{4} = P(A) P(S)$
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@alex.jordan Si querías resaltar la analogía, podrías decir que la independencia y la exclusividad mutua se definían por $P(AB)=P(A)P(B)$ y $P(A+B)=P(A)+P(B)$ respectivamente.
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El libro Contraejemplos en Probabilidad (Tercera Edición) de J. M. Stoyanov (Dover, 2013) es un tesoro de información. En particular, la Sección 3 del Capítulo 1 explora la INDEPENDENCIA DE EVENTOS ALEATORIOS.
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