Derivado de $x^x$ $x=1$ de primeros principios

Question

Encontrar la derivada de $x^x$ $x=1$ por definición (es decir, con el límite del cociente incremental).

El único truco que conozco es $x^x = e^{x \ln x}$ pero no funciona.

Answer 1

Usando la definición: $$\begin{align} f'(1)&=\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^x-1}{x-1}\\ &=\lim_{x\rightarrow1}\frac{e^{x\log{x}}-1}{x-1}\\ &=\lim_{y\rightarrow0}\frac{e^{(1+y)\log(1+y)}-1}{y}\\ &=\lim_{y\rightarrow0}\frac{e^{(1+y)\log(1+y)}-1}{(1+y)\log(1+y)}\frac{(1+y)\log(1+y)}{y}\\ &=\lim_{t\rightarrow0}\frac{e^{t}-1}{t}\lim_{y\rightarrow0}(1+y)\frac{\log(1+y)}{y}=1 \end {Alinee el} $$ donde $y=x-1$ y $t=(1+y)\log(1+y).$

Answer 2

El truco que menciona $\frac{d}{dx}[x^{x}] = \frac{d}{dx} e^{x \ln{x}}$ todavía funciona. :)

Aplicar la regla de la cadena: $e^{x \ln{x}}\frac{d}{dx}[x \ln{x}]$

Y entonces la regla del producto: $e^{x \ln{x}}(\ln{x}+x\frac{1}{x})$

Simplificar: $x^x(1+\ln{x})$

Edición: Desea el valor de la derivada evaluada en $x = 1$, sustituye así en y se obtiene 1.