Dejemos que $A$ sea un anillo conmutativo. Sea $A[[x]]$ sea el anillo de las series de potencias formales en una variable. ¿Podemos determinar la estructura del grupo de automorfismo de $A[[x]]$ en $A$ ?
Este es una pregunta relacionada.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Lubin
Puntos
21941
Un automorfismo continuo $\psi$ de $A[[x]]$ se determina por lo que hace a $x$ y lo que hace a los elementos de $A$ . Si $\psi$ deja elementos de $A$ fija, como creo que está especificando, entonces la única cuestión es qué elementos de $A$ puede ocurrir como $x^\psi$ (Escribo la imagen de $x$ en $\psi$ así para evitar confusiones posteriores). Dado que $x$ es "analíticamente nilpotente", lo que significa que sus potencias convergen a $0$ la continuidad implica que $x^\psi$ debe ser a.n. también. Como sabes por los comentarios de tu reciente post, cualquier serie de este tipo $u(x)=\sum\alpha_ix^i\in A[[x]]$ determinará definitivamente un homomorfismo de $A[[x]]$ a sí mismo.
Entonces quedan dos preguntas: precisamente cuáles son los elementos analíticamente nilpotentes de $A[[x]]$ y precisamente lo que caracteriza a las series invertibles (para hacer $\psi$ biyectiva). Si $A$ tiene topología discreta, entonces el conjunto de a.n. elementos de $A[[x]]$ es sólo $xA[[x]]$ pero para un anillo topológico general, no estoy nada seguro de cuál podría ser la respuesta. Pero supongamos $A$ es completa bajo una topología dada por las potencias de algún ideal $I$ para lo cual $\bigcap_n I^n=(0)$ . Entonces, cuando llamamos a $\sqrt I$ el radical de $I$ es decir, el conjunto de todos los elementos de $A$ para el que algún poder positivo aterriza en $I$ (para que $\sqrt I$ es un ideal de $A$ ), entonces $\sqrt{I}+xA[[x]]$ es el conjunto de todos los elementos a.n. de $A[[x]]$ .
¿Qué pasa con la invertibilidad de una serie $u(x)=\sum_0^\infty\alpha_ix^i$ ? Ya has visto que si $A$ tiene una topología discreta y $\alpha_0=0$ , $u$ es invertible si y sólo si $\alpha_1$ tiene un recíproco en $A$ . De nuevo, en el caso general de un anillo topológico, no sé la respuesta, pero en el caso interesante de que $A$ es completa bajo el $I$ -topología de la adicción mencionada antes, todo lo que es necesario de nuevo es que $\alpha_1$ debe tener reciprocidad en $A$ . La única prueba de esto que conozco es la Preparación de Weierstrass, pero no dudo que otros tengan argumentos más directos.
Como ejemplo de un automorfismo no trivial, tal vez incluso no obvio, del tipo más general, considere el $\psi$ para lo cual $x^\psi=u(x)=p -x + x^p\in{\mathbb{Z}}_p[[x]]$ . El anillo constante está completo bajo el $(p)$ -topología de los radicales, por lo que todo lo que he dicho antes se aplica. La cuestión de qué tipo de automorfismos no continuos de $A[[x]]$ que pueda haber, se lo dejo a usted.
