Muestran que

Question

Mostrar que $$\frac{1}{2}(0.5)+\frac{(1+\frac{1}{2})}{3}(0.5)^2+\frac{(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})}{4}(0.5)^3+\cdots=(\log 2)^2$ $ he intentado probar con la serie de Taylor, pero que he encontrado no son útiles como se muestra a continuación

cualquier ayuda, gracias

Answer 1

Tenga en cuenta que su serie es $f(\frac{1}{2})$, donde $$f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n+1} x^n$$ ($H_n$ la hamonic de la serie), que es una potencia de la serie de la radio de convergencia $1$. Ahora, $x f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n+1} x^{n+1}$ parece (y es) la antiderivada de $$F(x) = \sum_{n=1}^\infty H_n x^n$$ en $(-1,1)$, por las propiedades de la potencia de la serie. Por lo que se pueden empezar a tratar de encontrar una forma cerrada para $F$. Ya sea por una corazonada ($H_n$ como coeficiente se ve como el coeficiente de Cauchy producto entre la serie de coeficientes de $1$ $\frac{1}{n}$ respectivamente, los cuales son conocidos), o buscando la salida de Mathematica (o ambos), podemos adivinar qué hacer. (Más detalles de seguir, con un total de derivación.)

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Vamos a utilizar el hecho de que, para $\lvert x\rvert < 1$, $$\begin{align} -\ln(1-x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} \\ \frac{1}{1-x} &= \sum_{n=0}^\infty x^n \end{align}$$ así que $$\begin{align} \frac{-\ln(1-x)}{1-x} &= \sum_{n=1}^\infty \left(\sum_{k=1}^n 1\cdot \frac{1}{k}\right) x^n = \sum_{n=1}^\infty H_n x^n \end{align}$$ como deseaba (donde, en el medio, hemos utilizado el hecho de que $\left(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n x^n \right) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n$$c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$). Ahora, calcular la antiderivada: $$ F(x) - F(0) = F(x) = \int_0^x \frac{-\ln(1-t)}{1-t}dt = \frac{1}{2}\ln^2(1-x) $$ (el reconocimiento de una integral de la forma$\int_0^x u^\prime u = \frac{1}{2}[u^2]^x_0$$u(x) = -\ln(1-x)$). Esto implica que, para $\lvert x\rvert < 1$, $$xf(x) = \frac{1}{2}\ln^2(1-x)$$ así que, para $x\in(0,1)$, $$f(x) = \frac{\ln^2(1-x)}{2x}.$$ Conectar $x=\frac{1}{2}$ conduce a $$ f\!\left(\frac{1}{2}\right) = \ln^2 \frac{1}{2} = \ln^2 2. $$

Answer 2

$$\begin{align} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{H_{n-1}}{n 2^{n-1}}=\sum_{n=2}^{\infty}\sum_{m=1}^{n-1} \frac1{n 2^{n-1} m} \\=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=m+1}^{\infty}\frac1{n 2^{n-1} m} \\=2\sum_{n,m=1}^{\infty}\frac1{m(n+m)2^n\,2^m} \\=2\sum_{n,m=1}^{\infty}\frac1{n(n+m)2^n\,2^m} \\=\sum_{n,m=1}^{\infty}\frac1{n 2^n}\frac1{m 2^m}=\log^2 2 \end {Alinee el} $$