Dejemos que $T$ denotan una teoría de Lawvere monosorted (llaman a su objeto distinguido $G$ ) dotado de una constante distinguida $0 : G \leftarrow 1$ que es "idempotente" en el siguiente sentido: para todas las flechas $f : G \leftarrow G^n$ de $T$ tenemos $0 = f \circ \mathrm{diag}_{n,1} \circ 0,$ donde $\mathrm{diag}_{n,1} : G^n \leftarrow G$ es la inclusión diagonal. En una notación más clásica, esto es sólo decir que
$$f(0,\ldots,0) = 0$$
para todas las flechas $f : G \leftarrow G^n$ de $T$ . Entonces la categoría de modelos de $T$ en $\mathbf{Set}$ necesariamente tiene un $0$ y así podemos dar sentido a biproductos .
Escriba $\mathbf{C}$ para la mencionada categoría de modelos en $\mathbf{Set}$ . Los únicos casos que conozco en los que $\mathbf{C}$ tiene todos los biproductos finitos son el caso en que $T$ es la teoría de Lawvere de $S$ -para algún semirremolque conmutativo $S$ . (Esto abarca los grupos abelianos, los monoides conmutativos, los espacios vectoriales reales, etc.) En estos casos, también se cumple que $T$ es conmutativo .
Ahora, por desgracia, $T$ ser conmutativo no implica la existencia de biproductos; por ejemplo, tomar $T$ igual a la teoría de la punta magmas mediales Satisfaciendo a $0+0=0$ . Parece natural preguntarse si lo contrario es válido:
Pregunta. ¿La existencia de todos los biproductos finitos en $\mathbf{C}$ implican que $T$ es conmutativo? Es decir, ¿la existencia de biproductos representa un fortalecimiento de la conmutatividad? Y si es así, ¿la existencia de todos los biproductos finitos en $\mathbf{C}$ equivalente a una condición expresada de forma directa sobre la estructura de $T$ ?