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¿Es la existencia de biproductos finitos un refuerzo de la conmutatividad?

Dejemos que $T$ denotan una teoría de Lawvere monosorted (llaman a su objeto distinguido $G$ ) dotado de una constante distinguida $0 : G \leftarrow 1$ que es "idempotente" en el siguiente sentido: para todas las flechas $f : G \leftarrow G^n$ de $T$ tenemos $0 = f \circ \mathrm{diag}_{n,1} \circ 0,$ donde $\mathrm{diag}_{n,1} : G^n \leftarrow G$ es la inclusión diagonal. En una notación más clásica, esto es sólo decir que

$$f(0,\ldots,0) = 0$$

para todas las flechas $f : G \leftarrow G^n$ de $T$ . Entonces la categoría de modelos de $T$ en $\mathbf{Set}$ necesariamente tiene un $0$ y así podemos dar sentido a biproductos .

Escriba $\mathbf{C}$ para la mencionada categoría de modelos en $\mathbf{Set}$ . Los únicos casos que conozco en los que $\mathbf{C}$ tiene todos los biproductos finitos son el caso en que $T$ es la teoría de Lawvere de $S$ -para algún semirremolque conmutativo $S$ . (Esto abarca los grupos abelianos, los monoides conmutativos, los espacios vectoriales reales, etc.) En estos casos, también se cumple que $T$ es conmutativo .

Ahora, por desgracia, $T$ ser conmutativo no implica la existencia de biproductos; por ejemplo, tomar $T$ igual a la teoría de la punta magmas mediales Satisfaciendo a $0+0=0$ . Parece natural preguntarse si lo contrario es válido:

Pregunta. ¿La existencia de todos los biproductos finitos en $\mathbf{C}$ implican que $T$ es conmutativo? Es decir, ¿la existencia de biproductos representa un fortalecimiento de la conmutatividad? Y si es así, ¿la existencia de todos los biproductos finitos en $\mathbf{C}$ equivalente a una condición expresada de forma directa sobre la estructura de $T$ ?

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Aleksandr Levchuk Puntos 1110

No, no toda teoría algebraica con biproductos finitos es conmutativa. Por ejemplo, la categoría de $R$ -para cualquier anillo $R$ tiene biproductos finitos, pero la teoría de $R$ -es conmutativo si y sólo si $R$ es conmutativo.

Pero esa es básicamente la única excepción. De hecho:

Teorema. Dejemos que $\mathbb{T}$ sea una teoría de Lawvere. Las siguientes son equivalentes:

  • $\mathbf{Mod} (\mathbb{T})$ es una categoría semiaditiva (es decir, tiene biproductos finitos).
  • $\mathbb{T}$ es una categoría semiaditiva.
  • $\mathbb{T}$ es la teoría de $S$ -para algún semirremolque $S$ .

De hecho, desde $\mathbb{T}^\mathrm{op}$ es una subcategoría completa de $\mathbf{Mod} (\mathbb{T})$ que es cerrado bajo productos finitos, si $\mathbf{Mod} (\mathbb{T})$ es semiaditivo, entonces también debe serlo $\mathbb{T}$ . Además, cuando $\mathbb{T}$ es semiaditivo, entonces un functor $\mathbb{T} \to \mathbf{Set}$ preserva los productos finitos si y sólo si es un funtor semiaditivo (es decir, preserva los biproductos finitos) $\mathbb{T} \to \mathbf{CMon}$ seguido del functor de olvido $\mathbf{CMon} \to \mathbf{Set}$ . Por lo tanto, si $\mathbb{T}$ es semiaditivo, entonces $\mathbf{Mod} (\mathbb{T})$ es (isomorfa a) la categoría de funtores semiaditivos $\mathbb{T} \to \mathbf{CMon}$ .

Ahora, supongamos que $\mathbb{T}$ es semi-aditivo. Es un hecho que las categorías semiaditivas son $\mathbf{CMon}$ -(pero no todas), y los funtores semiaditivos son lo mismo que $\mathbf{CMon}$ -funtores enriquecidos. Sea $\mathbb{S}$ sea el completo $\mathbf{CMon}$ -subcategoría enriquecida de $\mathbb{T}$ abarcada por el objeto generador $G$ . Por supuesto, $S = \mathbb{S} (G, G)$ es un sembrado, y un $S$ -es lo mismo que un $\mathbf{CMon}$ -functor enriquecido $\mathbb{S} \to \mathbf{CMon}$ . No es difícil ver que cada $\mathbf{CMon}$ -functor enriquecido $\mathbb{S} \to \mathbf{CMon}$ se extiende a un functor semiaditivo $\mathbb{T} \to \mathbf{CMon}$ de forma esencialmente única, por lo que se deduce que $\mathbf{Mod} (\mathbb{T})$ equivale a $\mathbf{Mod} (S)$ .

Por supuesto, está claro que la categoría de $S$ -para cualquier semirremolque $S$ es semiaditivo. Esto completa la demostración del teorema.

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