Fresco propiedad del número $24$

Question

Recientemente he tenido mi 24 cumpleaños, y un amigo comentó que era muy aburrido número, pasando de 23 que es primo, 25 que es el primer número que puede ser escrito como la suma de 2 pares diferentes de los cuadrados de los números enteros $3^2+4^2 =0^2+5^2 =25$, 24 parece un número muy aburrido

sin embargo, parece haber una propiedad muy especial

Teorema: el producto de 4 positivos números consecutivos es divisible por 24.

Me las arreglé para demostrar esto a través de la larga y seca de la inducción, no es muy interesante. Me pregunto si alguien puede proponer una diferente, más elegante e ingenioso de la prueba, en lugar de seco álgebra como yo.

Answer 1

En $\;4\;$ enteros consecutivos $\;(n-1)\,,\,n\,,\,(n+1)\,,\,(n+2)\;$hay exactamente dos incluso y dos impares.

Los incluso, exactamente uno es divisible por $\; 4\;$ para el producto entero es divisible por $\;8\;$, y desde por lo menos uno de los cuatro números es un múltiplo de tres es divisible por $\;2^3\cdot 3=24\;$.

Answer 2

Tenemos $$n(n-1)(n-2)(n-3)=\frac{n!}{(n-4)!}=4!\times\frac{n!}{4!(n-4)!}=24\times\binom{n}{4},$$ donde el coeficiente binomial $\binom{n}{4}$ es conocido por ser un número entero.

Para más información, consulte estas preguntas anteriores: 1, 2, 3